lunes, 6 de mayo de 2013

EVENTOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES



EVENTOS DEPENDIENTES, INDEPENDIENTES Y CONDICIONALES





Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si y sólo si:

(PnA)=P(A)P(B)


Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A) 
Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales.
         P(A y B) = P(A) · P(B)
Ejemplo 1:
Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?
Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes.
P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)
                             
Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el resultado del segundo evento así que la probabilidad es cambiada. En el ejemplo anterior, si la primera canica no es reemplazada, el espacio muestral para el segundo evento cambia y así los eventos son dependientes. La probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales:
         P(A y B) = P(A) · P(B)
Ejemplo 2:
Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?
Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes.
P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)
                             

Probabilidad de sucesos independientes


Probabilidad compuesta

Probabilidad sucesos independientes

Probabilidad de sucesos dependientes


Sucesos dependientes
Eventos Independientes
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.
Ejemplo:
lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.
Eventos dependientes
Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.
Se debe tener claro que A|B no es una fracción.
P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)
Reglas de Multiplicación
Se relacionan con la determinación de la ocurrencia de conjunta de dos o más eventos. Es decir la intersección entre los conjuntos de los posibles valores de A y los valores de B, esto quiere decir que la probabilidad de que ocurran conjuntamente los eventos A y B es:
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes
P(A y B) = P(A B) = P(B)P(A|B) si A y B son dependientes

1.    Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?
Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes.
                             P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)
                          
                                

                             
2.    Un departamento de mantenimiento recibe un promedio de 5 llamadas por hora. Comenzando en un momento aleatoriamente seleccionado, la probabilidad de que una llamada llegue dentro de media hora es:
Promedio 5 por hora, como el intervalo es media hora  = 2,5/media hora .ltenemos que 
P (T < 30 min.) = 1- e -5 = 1 - 0,08208 = 0,91792

     3.    P(A ∩B) = P(A) + P(B). Se extrae una carta alazar de un mazo inglés normal de 52 cartas. Supongamos que definimos los eventos
A: "sale 3" y B: "sale una figura" y se nos pregunta por la probabilidad de que ocurra A ó B. Como estos eventos no pueden ocurrir simultáneamente, o sea, son mutuamente excluyentes
A ∩B = entonces:
  
 P(A ó B) = P(A ∩B) = P(A) + P(B)
       = P(sale 3) + P(sale figura) = 4/52 + 12/52 = 4/13.

     4.    P(A) + P(Ac) = 1. En el mismo experimento anterior de sacar una carta, el evento A: "no sale rey" tiene como complemento al evento "sale rey", entonces resulta mas simple calcular la probabilidad de A como 1 - P(Ac):
P(no sale rey) = 1 - P(sale rey) = 1 - 4/52 = 12/13
P(A http://www.jfinternational.com/images/union.gifB) = P(A) + P(B) - P(A B). En el lanzamiento de un dado de seis caras, los eventos A: "sale par" y B: "sale primo" tienen itersección no vacía: 

A ∩B = {2}, entonces la probabilidad del evento "sale par o primo" = A ó B es
P(A o B) = P(A http://www.jfinternational.com/images/union.gifB) = P(A) + P(B) - P(A ∩B)
= 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6
     5.     
      P(A B) = P(A)•P(B). Lanzamos un dado de seis caras dos veces. Los eventos: A: "sale par en el primer lanzamiento" y B: "sale un 3 en el segundo", son eventos independientes, entonces la probabilidad de que "salga par en el primero y un 3 en el segundo" es
P(A y B) = P(A ∩B) = P(A)•P(B) = (3/6)•(1/6) = 1/12
      
      6 .     
P (A B) = P(A)•P(B/A) ó P(B/A) = P(A B)/ P(A) [P(B/A)

Es la probabilidad del evento B, sabiendo que ha ocurrido A]. En la extracción de una carta de un mazo inglés normal: ¿cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea el as de corazones, sabiendo que la carta extraída es de corazones?
Debemos calcular P(as/corazón).

La probabilidad de "as y corazón" es 1/52.

La probabilidad de corazón es 13/52.
Luego, P(as/corazón) = P(as y corazón)/P(corazón) = (1/52)/(13/52) = 1/13.

              


               Probabilidad de eventos independientes
       
    7     Si se lanza una moneda normal tres veces, la probabilidad de obtener tres sellos es:

Solución:
Cada lanzamiento es independiente de los otros.De manera que las probabilidades de sello
(S) en cada lanzamiento se multiplicarán entre sí.

P(tres Sellos) = P(S) P(S) P(S) = (1/2)(1/)(1/2)=8

  8.     Una moneda se lanza tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces salga cara?

Solución:
La probabilidad de que salga cara en un lanzamiento es 1/2

     9.     En tres lanzamientos independientes entre sí, el resultado de uno no afecta los otros resultados. En tal caso, las probabilidades de cada evento -de salir cara en este caso-, se multiplican entre sí:
P=(1/2)(1/2)(1/2)=1/8

Se extrae una carta de una baraja de 52 naipes. Se repone y se extrae una segunda carta. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes?

Solución:
Sea A ≡Obtener un rey de un mazo de 52 cartas.

Hay 4 reyes en el mazo. Por lo tanto,
P(A) =4/52=1/13

Al reponer la carta, cada extracción es independiente de la anterior, esto quiere decir que no se ve afectado el valor de obtener la misma probabilidad de obtener un rey. Además, por ser eventos independientes, se multiplica el valor según el número de extracciones con reposición que hay, que son dos.
Así

P(extraer dos reyes en dos extracciones y con reposición) =(1/13) •(1/13) =1/69
   
10.- En una urna hay 3 fichas amarillas y 6 azules, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar 2 fichas, con reposición, éstas sean amarillas?

Solución:
Definamos A como el evento:
“extraer una bola amarilla”.
Así, si
P = es la probabilidad de extraer una sola bola amarilla
P=casos favorables números de amarillas/casos totales número total de bolas=3/(3+6)=3/9=1/3

Como una extracción no afecta a la otra, pues se repone labola sacada, no afectando al número de bolas del color sacado, ni al total de bolas que hubo inicialmente, para el caso de otra extracción. Por tanto, estamos frente a eventos independientes. Y el evento A se repite dos veces para satisfacer lo pedido. Así, extraer dos bolas amarillas es simplemente repetir el evento A, siguiendo un principio multiplicativo para extracciones con reposición y de modo más general, para eventos independientes.

 P=(1/3)(1/3)= 1/9


11.-El macabro y no recomendado juego de la ruleta rusa, consiste en introducir una bala en una de las seis recámaras del cilindro del revólver, dejando las otras cinco vacías. Ahora,... si cada juego consiste en hacer girar elcilindro, apuntar a la cabeza y apretar el gatillo. ¿Cuál es la
probabilidad de estar vivo después de jugar dos veces?
Solución:
Cada vez que se hace girar el cilindro, laprobabilidad de que salga el disparo es
1/6

Por lo tanto, la probabilidad de sobrevivir a cada juego
5/6.

Como los juegos son independientes, la probabilidad de sobrevivir a dos juegos es:                                             5/6= primer juego
         (5/6)(5/6)=25/6                           5/6= segundo juego


12.- Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamiento resulte 3 y en el segundo lanzamiento un número impar?

Solución:
Sean los eventos:
A ≡Obtener un 3. De seis números posibles, hay un solo 3 ⇒P(A) =1/6
B ≡Obtener un número impar. De seis números posibles, tenemos tres impares⇒ P(B) =3/6 =1/2

Los eventos A y B son independientes, por lo tanto, P(A∩B) = P(A) •P(B)=
(1/6)(1/2)= 1/12

13.- Una persona muy distraída ha extraviado el número telefónico de su mejor amigo, pero logra averiguar las 5 cifras intermedias de un total de 7. Sabiendo además que el primer dígito debe ser par, distinto de 0 y que la última cifra es impar mayor que 4, ¿cuál es la probabilidad de acertar al número de teléfono de su amigo?
Solución:
Solo debe adivinar dos dígitos, el primero y el último. Las posibilidades para el primer número son par y distinto de cero: 2, 4, 6, 8. Las posibilidades para el segundo número son impar y mayor que cuatro: 5, 7,

Sean los eventos:
A ≡Acertar el primer dígito.
B ≡Acertar el segundo dígito.
 A∩B ≡Acertar los dos dígitos.
Entonces P(A) =1/4
Entonces P(B) =1/3

Como son eventos independientes, la probabilidad de acertar los dos dígitos en el número telefónico de su amigo es el producto de ambas probabilidades:

P(A∩ B) = P(A) •P(B)=(1/4)(1/3)=1/12

14.- Un estudiante responde al azar 5 preguntas de verdadero y falso en una prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte todas aquellas preguntas?
Solución:
Cada pregunta tiene dos respuestas posibles, las que constituyen los casos totales. El caso favorable a cada respuesta
correcta es una en cada pregunta. Por lo tanto, la probabilidad de responder correctamente una pregunta es:

P(1 correcta) = 1/2
Responder cada pregunta constituye un evento independiente a las otras respuestas. Por lo tanto, se multiplica los resultados probables de
acertar cada una de las 5 preguntas. Así, la probabilidad pedida es:

P(5 correctas) = (1/2)•(1/2)•(1/2)•(1/2)•(1/2) =(1/2) ^5


15.- Un test de selección múltiple consta de 30 preguntas. Cada pregunta tiene 4 posibles respuestas siendo sólo una de ellas la correcta. Si un alumno responde al azar cada pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que todas sus respuestas sean correctas?
Solución

Hay una alternativa correcta de un total de cuatro en cada pregunta. Por lo tanto, la probabilidad de acertar una es ¼

Como cada pregunta es independiente de las otras, la probabilidad final es el producto de las probabilidades de cada una delas 40 preguntas. Es decir,
P(30 aciertos) =  (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4)                                               (1/4) (1/4) (1/4)(1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4)                   
                    (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4)
 = (1/4) ^30

 
16.- Un alumno contesta las 70 preguntas de la P.S.U. de matemáticas al
azar. Si cada pregunta tiene 5 alternativas y sólo una de éstas es corre
cta, entonces ¿Cuál es la probabilidad de que tenga el puntaje máximo?

Solución:

Hay una alternativa correcta de un total de cinco en cada pregunta. Por lo tanto, la probabilidad de acertar una esuna de cuatro, es decir,
P(x = 1) = 1/5

Para obtener el puntaje máximo se debe acertar las 70 preguntas, independientes entre sí. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:
P(x = 70) =  (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
                    (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
                    (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
                  (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
                    (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
                    (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
                  (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
                  (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
P(x = 70) =   (1/5) ^70

17.- Un alumno en un examen debe contestar verdadero o falso a cada una de seis preguntas. Si el alumno responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de que conteste correctamente las cinco últimas preguntas, si acertó en la primera?

Solución:
Sea x la variable que indica el número de veces que se acierta una pregu
nta. Entonces, si la respuesta correcta se halla entre dos alternativas, la probabilidad de acertar una pregunta es una de dos, es decir:
P(x = 1) = (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = (1/2) ^5=1/32

18.- Una persona debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hará por cada etapa que compone un concurso. Si la persona responde
al azar, la probabilidad que acierte en seis etapas es

Solución:
La probabilidad de acertar una afirmación es de
½.
Como todas las etapas son independientes, pa
ra 6 etapas, la probabilidad pedida es:
P=(1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) =(1/2)^6 =1/64

19.- Un restaurante ofrece un almuerzo en que se pueden elegir 2
entradas, 3 platos de fondo y 5 postres. Si no me gustan 2 de los platos de f
ondo y 3 de los postres. ¿Cuál es la probabilidad de que me toque un menú de mi agrado si la elección es el azar?

Solución:

Todo menú tendrá finalmente 1 entrada, 1 plato de fondo y 1 postre y la composición de cada uno de estos es independiente de los otros. Así, tendremos de seguro, varias probabilidades que multiplicar. Denotemos las probabilidades de obtener entrada, fondo y postre de mi agrado, con P(entrada), P(fondo) y P(postre) respectivamente. En la siguiente expresión consideramos en los numeradores solo los casos favorables que sean del agrado, mientras que en los denominadores,a la cantidad total de posibilidades de componerlos. Así, la probabilidad de obtener un menú de mi agrado es:
P(entrada) • P(fondo) • P(postre) =(2/2) •(3-2)/3•(5-3)/5 = 1•(1/3) •(2/5) =2/5

20.- El procesador, la placa madre y la memoria tienen un 5%, 10% y 20% de probabilidades de fallar antes de un año respectivamente. ¿Cuál esla probabilidad de comprar un computador que presentará fallas antes de un año,en los tres componentes señalados?

Solución:
Sean los siguientes eventos de falla antes de un año:
A ≡falla el procesador. Por el enunciado, P(A) = 5% = 5/100
=1/20.
B ≡falla la tarjeta madre. De el enunciado, P(B) = 10% = 10/ 100
=1/10
C ≡falla la memoria. Entonces, P(C) = 20% = 20/100= 2/10= 1/5.

Como los componentes son independientes uno del otro, la probabilidad de que los tres fallen antes de un año, es la probabilidad de eventos independientes:
P(ABC) = P(A) P(B) P(C) = (1/20)(1/10)(1/5)=1/1000
Un milésimo.


21.-En una empresa trabajan hombres y mujeres, además se sabe que un 15
% de los empleados se han perfeccionado en el extranjero. Si el 35%
de las personas son mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger una persona dela empresa, esta sea mujer y se haya perfeccionado en el extranjero?

Solución:
Sea M =Escoger a una mujer.
        E =Haberse perfeccionado en el extranjero.

M y E son eventos independientes. Por lo tanto, la probabilidad pedida es el producto
de la probabilidad de ambos eventos.
35
P (M∩ E) =P(M) • P(E)
P (M E)= (35 ^7)/(100 ^20) •(15/100)
=7/(20^4) • (15^3)/100
= (21/4)(1/100%)
= 5,25%
 


  lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.
2.      En la urna A tenemos 7 bolas blancas y 13 negros y en la urna B 12 blancas y 8 negras.
Cuál es la probabilidad de que se extraiga una bola blanca de cada una
P(AyB)=P(A)*P(B)
=7/20 * 12/20
=84/400
=81/100
3.      en una baraja de 52 cartas se toma una carta al azar luego se regresa y se toma otra.
Cuál es la probabilidad de A la primera sea de diamantes, y B la segunda sea de tréboles.
P(AyB)=P(A) * P(B)
=13/52 * 13/52
=169/2704

4.       En una escuela el 20% de los alumnos tiene problemas visuales, el 8% tiene problemas auditivos y el 4% tienen tanto problemas visuales como auditivos, Sean: V los que tienen problemas visuales y VC los que no lo tienen. A los que tienen problemas auditivos y AC los que no los tienen.
  1. ¿Son los dos eventos de tener problemas visuales y auditivos, eventos independientes?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño tenga problemas auditivos si sabemos que tiene problemas visuales?
  3. Complete la siguiente tabla
  4.  

 
V
VC
Total
A
0.04

0.08
AC



Total
0.20

1.00
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño no tenga problemas auditivos si tiene problemas visuales?
Solución:
P(V)P(A) = (0.2)(0.08) = 0.016 y P(VÇ A) = 0.04. Como P(VÇ A) ¹P(V)P(A), se concluye que V y A no son independientes.
Por diferencias podemos completar la tabla, ya que P(VC) = 1 – 0.20 = 0.80P(AC) = 1 – 0.08 = 0.92, por lo tanto
  1.  

V
VC
Total
A
0.04
0.04
0.08
AC
0.16
0.76
0.92
Total
0.20
0.80
1.00
Supóngase que A y B son dos eventos independientes de un experimento. Si P(A È B) = 0.6  y  P(A) = 0.4, calcular P(B).

Solución

Sabemos que  P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B).  Como A y B son independientes, entonces  P(A Ç B) = P(A) P(B).  Sustituyendo obtenemos:

P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B) = P(A) + P(B) [1-P(A)]  y despejando:

5.       Si haya una probabilidad del 10% de que Júpiter se alineará con Marte, y una probabilidad del 50% de que su tirada de una moneda saldrá águilas, entonces ¿qué es la probabilidad de que Júpiter se alineará con Marte y su tirada de la moneda saldrá águilas (suponiendo que Júpiter no tenga ningún efecto en el resultado de su tirada)?
Aquí,
J: Júpiter se alineará con Marte A: Su tirada saldrá águilas
Pues Júpiter no tiene ningún efecto en su tirada de la moneda, tomamos estes sucesos como independientes, y así la probabilidad de que ambos sucesos ocurrirán es
P(J ∩ A) = P(J)P(A) = (.10)(.50) = .05. 

    7.      Para un hijo de una mujer portadora de Duchenne, el sexo y la enfermedad ¿son independientes?
El espacio muestral es W = {xX, xY, XX, XY}
Definimos los sucesos A = {varón} = {xY, XY}; B = {enfermo} = {xY}
A Ç B = {xY}
por lo tanto p(A) = 0,5; p(B) = 0,25; p(A Ç B) = 0,25 ¹ p(A) p(B) NO son independientes. 

EVENTOS DEPENDIENTES
Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.
Se debe tener claro que A|B no es una fracción.
P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)
Ejemplos:
1.      Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?
Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes.
P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)
                            
2.      Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A B)= 1/4. Determinar:
 

3.        Una empresa recibe 25 solicitudes para ocupar una vacante. Entre las solicitudes hay 10 hombres (H), 15 que tienen título de licenciatura (L) y 5 que son hombres y tienen título de licenciatura. Diga que los eventos H y L son independientes o dependientes.

Solución

Se tienen los siguientes datos: N = 25;  n(H) = 10;  n(L) = 15;  n(H ÇL) = 5, con los cuales obtenemos: P(H) == 0.4;  P(L) =  = 0.6;  P(H Ç L) =  = 0.2.

Para que haya independencia se debe de cumplir que  P(HÇL) = P(H) P(L)

Sustituyendo valores se tiene que   0.2  ¹  (0.4)(0.6), por lo que se concluye que los eventos son dependientes.
Se lanza una moneda legal 3 veces y se analiza la independiente o dependiente entre:
a)      Los tres eventos siguientes.
b)    Dos de los tres eventos siguientes.

A = {x | x es el primer lanzamiento es cara}
B = {x | x es el segundo lanzamiento es cara}
C = {x | x es se lanzan exactamente dos caras seguidas}

Solución
Empecemos por construir el espacio muestral del experimento.
S= {(CCC), (CC+), (C+C), (+CC), (C++), (+C+), (++C), (+++)}
Como hay 8 posibles resultados, entonces N = 8.  Ahora analicemos cada evento con su posibilidad respectiva.
A = {(CCC), (CC+), (C+C), (C++)};           n(A) = 4;         P(A) = 4/8 = 0.5
B = {(CCC), (CC+), (+CC), (+C+)};                       n(B) = 4;         P(B) = 4/8 = 0.5
C = {(CC+), (+CC)};                                    n(C) = 2;         P(C) = 2/8 = 0.25
y para las intersecciones se tiene.
(AÇB) = {(CCC), (CC+)};               n(AÇB) = 2;               P(AÇB) = 2/8 = 0.25
(AÇC) = {(CC+)};                            n(AÇC) = 1;               P(AÇC) = 1/8 = 0.125
(BÇC) = {(CC+), (+CC)};                n(BÇC) = 2;               P(BÇC) = 2/8 = 0.25
(AÇBÇC) = {(CC+)};                      n(AÇBÇC) = 1;         P(AÇBÇC) = 1/8 = 0.125


Ahora ya contamos con los datos requeridos para probar si hay dependencia o independencia entre los eventos.

a)      Probemos para los 3 eventos. Si hay independencia se debe de cumplir que:

P(A Ç Ç C) = P(A) P(B) P(C)

Sustituyendo valores tenemos        0.125       ¹ (0.5) (0.5) (0.25)

y como no se cumple la igualdad, concluimos que los eventos son dependientes.

b)      Ahora analicemos los eventos de 2 en 2:

Para A y B. Como P(Ç B) = P(A) P(B), ya que 0.25 = (0.5) (0.5), los eventos Ay B son independientes.

Para A y C tenemos que P(Ç C) = P(A) P(C) porque 0.125 = (0.5) (0.25), los eventos A y C son independientes.

Para B y C se cumple que P(B Ç C) ¹ P(B) P(C), ya que 0.25 ¹(0.5) (0.25), los eventos B y C son dependientes.
4.      Una empresa recibe 25 solicitudes para ocupar una vacante. Entre las solicitudes hay 10 hombres (H), 15 que tienen título de licenciatura (L) y 5 que son hombres y tienen título de licenciatura. Diga que los eventos H y L son independientes o dependientes.

Solución

Se tienen los siguientes datos: N = 25;  n(H) = 10;  n(L) = 15;  n(H ÇL) = 5, con los cuales obtenemos: P(H) = = 0.4;  P(L) =  = 0.6;  P(HÇ L) =  = 0.2.

Para que haya independencia se debe de cumplir que  P(HÇL) = P(H) P(L)

Sustituyendo valores se tiene que   0.2  ¹  (0.4)(0.6), por lo que se concluye que los eventos son dependientes.
5.      Se sabe por estudios previos que el 0,1% de la población tiene problemas vasculares. Un estudio sobre individuos con problemas vasculares revela que el 20% de ellos son placas de ateroma. Si el 10% de los individuos con placas de ateroma están expuestos a muerte súbita por desprendimiento de trombos ¿qué probabilidad tiene un individuo cualquiera de estar expuesto a muerte súbita por desprendimiento de trombos de una placa de ateroma?
A1 = {problemas vasculares}; A2 = {placas de ateroma}; A3 = {expuesto a muerte súbita por ....}
p(A1) = 0,001; p(A2|A1) = 0,20; p(A3|A1 Ç A2) = 0,1
p(A1 Ç A2 Ç A3) = 0,001 x 0,20 x 0,1 = 0,000002
6.      Una urna contiene 10 bolas, de las cuales 3 son rojas, 5 verdes y 2 azules. Se extraen al azar 3 bolas. Calcular la probabilidad de que la primera sea azul, y las otras dos verdes.
Definimos A1 = {la 1ª bola es azul}; A2 = {la 2ª bola es verde}; A= {la 3ª bola es verde}
p(A1) = 2/10 aplicando la definición clásica de probabilidad, puesto que hay 10 bolas y 2 son verdes.
p(A2|A1) = 5/9; si la primera bola extraída es azul, en la urna quedan 9 bolas, 5 de ellas verdes.
p(A3|A1 Ç A2) = 4/8; si la primera bola extraída es azul y la segunda verde en la urna quedan 8 bolas, 4 de ellas verdes.
p(A1 Ç A2 Ç A3) = 2/10 x 5/9 x 4/8 = 1/18

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