lunes, 6 de mayo de 2013

CALCULO DE LA MEDIA Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR


Media aritmética

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los 
datos y dividir el resultado entre el número total de datos.
fórmula de la media
media

Desviación Estándar

Esta medida nos permite determinar el promedio La desviación estándar (o desviación típica) es una medida de dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva. Es una medida (cuadrática) de lo que se apartan los datos de su media, y por tanto, se mide en las mismas unidades que la variable.
Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que representan los datos en su distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad a la hora de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.

Desviación estándar o Típica
aritmético de fluctuación de los datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza.




1.-El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente.
Por lo que su media es:

Monografias.com


Con lo que concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507 gramos, con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicho peso en 12 gramos. Esta información le permite al gerente determinar cuanto es el promedio de perdidas causado por el exceso de peso en los empaques y le da las bases para tomar los correctivos necesarios en el proceso de empacado.
2.-Ejemplo: Desviación estándar para datos no agrupados
Calcular la desviación estándar al siguiente conjunto de datos muéstrales.
220
215
218
210
210
219
208
207
213
225
213
204
225
211
221
218
200
205
220
215
217
209
207
211
218
PASO 1: Calcular la media aritmética.
PASO 2: Calcular la varianza
En este punto, la varianza es identificada por S2.
PASO 3: Calcular la desviación estándar a partir de la raíz cuadrada de la varianza.
Los datos se alejan en promedio de la media aritmética en 6,5516 puntos.
3.- Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
Monografias.com
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
Monografias.com
4.-Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses
Niños
9
1
10
4
11
9
12
16
13
11
14
8
15
1
Calcular la desviación típica.
Monografias.com
5.-.El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Sumas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Veces
3
8
9
11
20
19
16
13
11
6
4
Calcular la desviación típica.
Monografias.com
6.-Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
Monografias.com
7.-Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
Monografias.com
8.-Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:
Altura
[170, 175)
[175, 180)
[180, 185)
[185, 190)
[190, 195)
[195, 2.00)
Nº de jugadores
1
3
4
8
5
2
Calcular la desviación típica
Monografias.com
9.-Dada la distribución estadística:
[0, 5)
[5, 10)
[10, 15)
[15, 20)
[20, 25)
[25, 8)
fi
3
5
7
8
2
6
Calcular la desviación típica.
Monografias.com Media
No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.
Desviación típica
Si no hay media no es posible hallar la desviación típica.
10.- Calcular la desviación típica de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Monografias.com
Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
xi6164677073
fi51842278
Calcular:
La moda, mediana y media.
El rango, desviación media, varianza y desviación típica.

xifiFixi · fi|x − x ||x − x | · fixi2 · fi
61553056.4532.2518 605
64182311523.4562.1073 728
67426528140.4518.90188 538
71279218902.5568.85132 300
7381005845.5544.4042 632
1006745226.50455 803

Moda

Mo = 67

Mediana

100/2 = 50 Me = 67

Media

media

Desviación media

desviación media

Rango

r = 73 − 61 = 12

Varianza

varianza

Desviación típica

desviación típica

Desviación estándar

La desviación estándar o desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
La desviación estándar se representa por σ.
de relación típicadesviación

Desviación estándar para datos agrupados

desviación típicadesviación
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
desviación típicadesviación típica

Desviación estándar para datos agrupados

desviación típicadesviación típica

Ejercicios

Calcular la desviación estándar de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
media
Desviación típica
Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
xifixi · fixi2 · fi
[10, 20)15115225
[20, 30)2582005000
[30,40)351035012 250
[40, 50)45940518 225
[50, 60)55844024 200
[60,70)65426016 900
[70, 80)75215011 250
421 82088 050


media
desvición típica

Propiedades de la desviación estándar

La desviación estándar será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación estándar no varía.
Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación estándar queda multiplicada por dicho número.
Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones estándar se puede calcular la desviación estándar total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
desviación típica

desviación típicaSi las muestras tienen distinto tamaño:


Observaciones sobre desviación la estándar

La desviación estándar, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación estándar.
Cuanta más pequeña sea la desviación estándar mayor será la concentración de datos

Problemas de desviación típica. Cálculo de la media aritmética y la desviación típica en variables continuas y variables discretas. Diagramas


Variable discretas



Se ha preguntado a 40 personas el número de personas que forman el hogar familiar obteniéndose los siguientes resultados:
Número de personas en el hogar234567
Frecuencia41111662
a)   Calcula la media, la mediana, la moda y la desviación típica.
b)   Haz el diagrama correspondiente.


Media aritmética,mediana, moda y desviación típica



Para resolver esto construimos una tabla, debemos fijarnos en las columnas que necesitamos para calcular lo que nos piden.


Fi   La frecuencia absoluta acumulada la necesitamos para calcular la mediana.


xi·fi   Necesitamos el sumatorio de esta columna para la fórmula de la media aritmética. Los valores se hallan multiplicando xi·fi de cada fila.


xi2·fi   Necesitamos este sumatorio para hallar la desviación típica. Para conseguir los valores se multiplica en cada fila el valor de xi por xi·fi.


Tabla para calcular la media y desviación típica
personas xifrecuencia fiFixi · fixi2 · fi
244816
311153399
4112644176
563230150
663836216
72401498
40165755


Problemas desviación típica


Diagrama de barras por ser variables discretas



Problemas desviación típica

Variables continuas


En un test de inteligencia realizado a una muestra de 200 personas, se han obtenido los resultados siguientes:
Puntuación30 - 4040 - 5050 - 6060 - 7070 - 8080 - 90
Número de personas6187670228
a)   Calcula la media, y la desviación típica.
b)   Dibuja un histograma para representar gráficamente los datos, haz también el polígono de frecuencias.

Media aritmética y desviación típica


Es una variable continua, debemos hallar la marca de clase para cada intervalo sumando los valores extremos y dividiendo entre dos. Esta marca de clase la trataremos como xi.
El resto de los sumatorios que necesitamos se hallan como en el ejemplo anterior.

IntervalosMarca de clase  xiFrecuencia  fixi · fixi2 · fi
30 - 403562107350
40 - 50451881036450
50 - 6055764180229900
60 - 7065704550295750
70 - 8075221650123750
80 - 9085868057800
20012080751000

Problemas desviación típica

Histograma y polígono de frecuencias


Para construir el polígono de frecuencias se unen las marcas de clase de cada intervalo.

Problemas desviación típica
EJERCICIO 1
Las edades de una muestra de turistas canadienses que vuelan de Toronto a Hong Kong, fueron :
   32       21       60       47       54      17       72       55       33       41
a)  Calcule la amplitud de variación
   
  
  






b)  Determine la desviación media
    


c)  Evalúe la desviación estándar 
   


EJERCICIO 2
Los pesos ( en libras ) de una muestra de cinco cajas enviadas por el servicio de mensajería UPS es :
              12       6       7       3       10  
a) Obtenga la amplitud de variación
       12  -  3  =  9
b)  Calcule la desviación media
    





c)  Determine la desviación estándar
   


EJERCICIO 3
La Empresa Trout, inc cría truchas pequeñas en estanques especiales y las vende cuando adquieren cierto peo. Se aisló una muestra de 10 truchas en un estanque y se les alimentó con una mezcla especial denominada RT - 10. Al final del período experimental los precios de las truchas fueron (en gramos):
     124       125       125       123       120       124       127       125       126     121

a)  Calcule la varianza usando la fórmula de la desviación
     









b)  Calcule la varianza usando la formula directa
 
  




c)  Determine la desviación estándar muestral 
     








1 comentario: