PROBABILIDAD Y ESTADISTICA : DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CON VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES
ALEATORIAS DISCRETAS
ESPACIO MUESTRAL. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico
denotado por “S” o “Ω ”

VARIABLE. Se denomina variable a la entidad que puede tomar un valor cualesquiera durante la
duración de un proceso dado. Si la variable toma un solo valor durante el proceso se llama constante.

VARIABLE ALEATORIA: Es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio
muestral. Es decir son aquellas que pueden diferir de una respuesta a otra.
Una variable aleatoria se puede clasificar en:

Variable aleatoria discreta.

Variable aleatoria continua.

Variable aleatoria discreta. Una variable discreta proporciona datos que son llamados datos
cuantitativos discretos y son respuestas numéricas que resultan de un proceso de conteo.
La cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar.

El número de águilas en cinco lanzamientos de una moneda.

Número de circuitos en una computadora.

El número de vehículos vendidos en un día, en un lote de autos

Variable aleatoria continua. Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos
valores cualesquiera; ésta puede asumir infinito número de valores y éstos se pueden medir.

La estatura de un alumno de un grupo escolar.

El peso en gramos de una moneda.

La edad de un hijo de familia.

Las dimensiones de un vehículo

DISTRIBUCIONES
Distribución de probabilidad. Es una distribución teórica de frecuencias que describe cómo se
espera que varíen los resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de modelos que
permiten describir el comportamiento de fenómenos estadísticos que permiten hacer inferencias y
tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.

Distribuciones discretas. Son aquellas donde las variables asumen un número limitado de valores,
por ejemplo el número de años de estudio.

Distribuciones continuas. Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier

valor dentro de determinados límites; por ejemplo, la estatura de un estudiante.

FUNCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

La distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta puede ser:

1.- Una relación teórica de resultados y probabilidades que se puede obtener de un modelo

matemático y que representa algún fenómeno de interés.

2.- Una relación empírica de resultados y sus frecuencias relativas observadas.

3.- Una relación subjetiva de resultados relacionados con sus probabilidades subjetivas o artificiales

que representan el grado de convicción del encargado en tomar decisiones sobre la probabilidad

de posibles resultados.

Sabemos que una variable aleatoria discreta o discontinua es aquella en la que existe una distancia

bien definida entre dos de los valores consecutivos que asume; y dichos valores son numerables.

Existen varios modelos matemáticos que representan diversos fenómenos discretos de la vida real.

Las más útiles son:

1.- La distribución uniforme discreta.

1.- La distribución de probabilidad Binomial o de Bernoulli.

2.- La distribución de probabilidad Hipergeométrica.

3.- La distribución de probabilidad de Poisson.

Ejemplo 1: El EM que da una descripción detallada de cada

resultado posible cuando se prueban tres componentes

electrónicos se puede escribir como

{NNN,NND,NDN,DNN,NDD,DND,DDN,DDD}

donde N denota no defectuoso y D defectuoso. Es natural estar

interesado en el número de defectuosos que puedan ocurrir. De

esta forma a cada punto del EM se le asignará un valor numérico

de 0,1,2 o 3.

• Estos valores, por supuesto, son cantidades aleatorias

determinadas por los resultados del experimento estadístico.

• Utilizaremos una letra mayúscula, digamos X, para denotar una

variable aleatoria y su respectiva minúscula, x en este caso, para

uno de sus valores.

Ejemplo 2: Se sacan dos bolas de manera sucesiva sin reemplazo

de una urna que contiene cuatro bolas rojas y tres negras. Los

posibles resultados y los valores y de la variable aleatoria Y, donde

Y es el número de bolas rojas, son:

EM y

RR 2

RN 1

NR 1

NN 0

Ejemplo 3: El empleado de una almacén regresa tres cascos de seguridad

al azar a tres empleados de un taller siderúrgico que ya los habían

probado. Si Valdivia, Jara y Boseyur, en ese orden, reciben uno de los tres

cascos, listar los puntos muestrales para los posibles órdenes de regreso

de los cascos y encontrar el valor de m de la variable aleatoria M que

representa el número de asociaciones correctas.

Si V, J y B representan los cascos de Valdivia, Jara y Boseyur,

respectivamente, entonces los posibles arreglos en el cual se pueden

regresar los cascos y el número de asociaciones correctas son

EM m

VJB 3

VBJ 1

JVB 1

JBV 0

BVJ 0

BJV 1

En cada uno de los EM anteriores contienen un número finito de

elementos.

Ejemplo 4: Cuando se lanza un dado hasta que ocurre un cinco,

obtenemos un EM con una secuencia interminable de elementos

{C,NC,NNC,NNNC,NNNNC, … }

donde C y N representan, respectivamente, la ocurrencia y no

ocurrencia de un 5. Pero incluso, en este experimento el número

de elementos puede ser igual a todos los números enteros de

modo que hay primer elemento, un segundo, un tercero y así

sucesivamente, y en este sentido se pueden contar.

• Si un EM contiene un número finito de posibilidades o una serie

interminable con tantos elementos como números enteros existen,

se llama espacio muestral discreto (EMD).

• Los resultados de algunos experimentos estadísticos no pueden

ser ni finitos ni contables.

Variable Aleatoria
 Una variable aleatoria es una función que asocia un número
real con cada elemento del espacio muestral.
 Se utiliza una letra mayúscula, por ejemplo X, para denotar
una variable aleatoria, y su correspondiente minúscula, x en
este caso, para denotar a cada uno de sus valores.
 Cada valor de X representa un evento que es un subconjunto del
espacio muestral para el experimento dado.

Variable Aleatoria (cont.)
 Si un espacio muestral contiene un número finito de
posibilidades, o una serie interminable con tantos elementos
como números enteros existen, se llama espacio muestral
discreto.
 Una variable aleatoria se llama variable aleatoria discreta si se
puede contar su conjunto de resultados posibles.
 Si un espacio muestral contiene un número infinito de
posibilidades igual al número de puntos en un segmento de
línea, se llama espacio muestral continuo.
 Una variable aleatoria se llama variable aleatoria continua si puede
tomar valores en una escala continua.
EJEMPLO 1

Se tratan 120 ejemplares de una especie vegetal, todos bajo la acción destructora de un mismo microorganismo, con un compuesto para eliminar dicho microorganismo. Se observa que, en general, 4 de cada 10 mueren antes de que el compuesto haya surtido efecto. Calcula la probabilidad de que:

a) Mueran entre 60 y 90 ejemplares.