La distribución normal es, como mucho, la mas importante de todas las distribuciones de probabilidad. Es una distribución de variable continua, con campo de variación -∞,∞, fue descubierta por Gauss al estudiar la distribución de los errores en las observaciones astronómicas.
- Su esperanza es μ.
- Su varianza es σ2 y, por tanto, su desviación típica es σ.
- Es simétrica respecto a su media μ, como puede apreciarse en la representación anterior.
- Media, moda y mediana coinciden (μ).
- Cualquier transformación lineal de una variable con distribución Normal seguirá también el modelo Normal. Si X ~ N(μ, σ) y definimos Y = aX + b (con a ≠ 0), entonces Y ~ N(aμ + b, |a|σ). Es decir, la esperanza de Y será aμ + b y su desviación típica, |a|σ.
- Cualquier combinación lineal de variables normales independientes sigue también una distribución Normal. Es decir, dadas nvariables aleatorias independientes con distribución Xi ~ N(μi, σi) para i = 1, 2, ..., n la combinación lineal: Y = anXn + an−1Xn−1+ ... + a1X1 + a0 sigue también el modelo Normal:
4. Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que está
a) a la izquierda de z = 1.43
P(Z < 1.43) = Φ( 1.43 ) = 0.9236
b) a la derecha de z = -0.89
P(Z > -0.89) = 1 - Φ( -0.89) = 1- 0.1867 = 0.8133
c) entre z = -2.16 y z = -0.65
P( -2.16 <Z< -0.65) = Φ( -2.16 ) - Φ(-0.65) = 0.2643 – 0.154 = 0.2490
d) a la izquierda de z = -1.39
P(Z <-1.39) = Φ( -1.39 ) = 0.0823
e) a la derecha de z = 1.96
P(Z > 1.96) = 1 - Φ( 1.96) = 1 – 0.9750 = 0.0250
f) entre z = -0.48 y z = 1.74
P( -0.48 <Z< 1.74) = Φ( 1.74 ) - Φ(-0.48) = 0.9591 – 0.3156
5. Dada una distribución normal estándar con µ = 30 y σ = 6, encuentre
a) P(Z<k)= 0.0427
Φ( k ) = 0.0427 k = -1.72
b) P(Z>k)= 0.2946
Φ( k ) = 1- 0.2946 = 0.7054 k =0.54
c) P(-0.93<Z<k)= 0.7235
Φ( k ) = 0.7235 + Φ(-0.93 ) = 0.8997 k = 1.28
6. Dada la variable X normalmente distribuida con media 18 y desviación estándar 2.5, encuentre
a) P(X<15)=
P(X < 15) = Φ[(15 - 18)/2.5 ] = Φ[-1.20 ] = 0.1151
b) El valor de k tal que P(X < k)= 0.2236
Φ( Z ) = 0.2236 Z = -0.76
k = Zσ + µ = (-0.76)(2.5) + 18 = 16.10
c) El valor de k tal que P(X > k)= 0.1814
1 - Φ( Z ) = 0.1814 Φ( Z )= 0.8186 Z = 0.91
k = Zσ + µ = (0.91)(2.5) + 18 = 20.28
d) P(17<X<21)
P(17 < X < 21) = Φ[(21 – 18)/2.5 ] - Φ[(17 – 18)/2.5 ]
= Φ[1.20 ] - Φ[-0.40 ] = 0.8849 – 0.3446 =0.5404
7. Un investigador científico reporta que unos ratones vivirán un promedio de 40 meses cuando sus
dietas se restringen drásticamente y después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga
que las vidas de tales ratones se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 6.3
meses, encuentre la probabilidad de que un ratón dado viva
µ = 40 y σ = 6.3
a) más de 32 meses
P(X > 32) = 1 - Φ[(32 – 40)/6.3 ] = 1 - Φ[-1.27 ] = 1 – 0.1021 = 0.8979
b) menos de 28 meses
P(X <28) = Φ[28 – 40)/6.3] = Φ[-1.90] = 0.0284
c) entre 37 y 49 meses
P(37 < X < 49) = Φ[49 – 40)/6.3 ] - Φ[(37 – 40)/6.3 ]
= Φ[1.43 ] - Φ[-0.48 ] = 0.9234 – 0.3170 = 0.6065
8. Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva un promedio de 200 mililitro
por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a
15 mililitros,
µ = 200 y σ = 15
a) ¿qué fracción de los vasos contendrán más de 224 mililitros?
P(X > 224) = 1 - Φ[(224 – 200)/15 ] = 1 - Φ[1.60 ] = 1 – 0.9452 = 0.0548
b) ¿cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?
P(191 < X < 209) = Φ[209 – 200)/15 ] - Φ[(191 – 200)/15 ]
= Φ[0.60 ] - Φ[-0.60 ] = 0.7257 – 0.2743 =0.4514
c) ¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las
siguientes 1000 bebidas?
P(X > 230) = 1 - Φ[(230 – 200)/15 ] = 1 - Φ[2.00 ] = 1 – 0.9772 = 0.0228
Total de vasos 1000*0.0228 = 22.8 aproximadamente 23
d) ¿por debajo de qué valor obtendremos 25% de las bebidas más pequeñas?
P25 K = 25 Área = 0.25 Φ( Z ) = 0.25 Z = -0.67
x = Zσ + µ = (-0.67)(15) + 200 = 189.88
9. Un abogado va todos los días de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad.
El tiempo promedio para un viaje de ida es 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8
minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente.
µ = 24 y σ = 3.8
a) ¿cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos ½ hora?
P(X > 30) = 1 - Φ[(30 – 24)/3.8 ] = 1 - Φ[1.58 ] = 1 – 0.9428 = 0.0572
b) Si la oficina abre a las 9:00 am y él sale diario de su casa a las 8:45 am, ¿qué porcentaje
de las veces llega tarde al trabajo?
P(X > 15) = 1 - Φ[(15 – 24)/3.8 ] = 1 - Φ[-2.37 ] = 1 – 0.0089 = 0.9911
c) Si sale de su casa a las 8:35 am y el café se sirve en la oficina de 8:50 a 9:00 am, ¿cuál es
la probabilidad de que pierda el café?
P(X > 25) = 1 - Φ[(25 – 24)/3.8 ] = 1 - Φ[0.26 ] = 1 – 0.6038 = 0.3962
d) Encuentre la longitud de tiempo por arriba de la cual encontramos el 15% de los viajes más
lentos.
1 - Φ( Z ) = 0.15 Φ( Z )= 0.85 Z = 1.04
x = Zσ + µ = (1.04)(3.8) + 24 = 27.94
e) Encuentre la probabilidad de que dos de los siguientes tres viajes tomen al menos ½ hora
Del inciso a) p = 0.0578 P(Y = 2) = 3
C2(0.0572)2
(0.9428) = 0.00925
10. La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es 10 años con una desviación estándar de
dos años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del tiempo de
garantía. Si está dispuesto a reemplazar sólo 3% de los motores que fallan, ¿de qué duración debe
ser la garantía que ofrezca? Suponga que la duración de un motor sigue una distribución normal.
µ = 10 y σ = 2
P3 Área = 0.03 Φ( Z ) = 0.03 Z = -1.88
x = Zσ + µ = (-1.88)(2) + 10 = 6.24
11. una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $15.90 por hora con una
desviación estándar de $1.50. Si los salarios se distribuyen aproximadamente de forma normal y se
pagan al centavo más próximo
µ = 15.90 y σ = 1.5
a) ¿qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre $13.75 y $16.22 inclusive por
hora?
P(13.75 < X < 16.22) = Φ[16.22 – 15.90)/1.5 ] - Φ[(13.75 – 15.90)/1.5 ]
= Φ[0.21 ] - Φ[- 1.43] = 0.5845 – 0.0759 = 0.5086
b) ¿ el 5% más alto de los salarios por hora de los empleados es mayor a qué cantidad?
P95 Área = 0.95 Φ( Z ) = 0.95 Z = 1.645
x = Zσ + µ = (1.645)(1.5) + 15.90 = 18.37
12. La resistencia a la tracción de cierto componente de metal se distribuye normalmente con una
media de 10,000 kilogramos por centímetro cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramos
por centímetro cuadrado. Las mediciones se registran a los 50 kilogramos por centímetro cuadrado
más cercanos.
a) ¿Qué proporción de estos componentes excede 10,150 kilogramos por centímetro
cuadrado de resistencia a la tracción ?
µ = 15.90 y σ = 1.5 unidades = 50 e= + 25
P(X > 10150) = P(X > 10175) = 1 – Φ[ (10175 – 10000)/100]
= 1 - Φ[1.75] = 1 – 0.9599 = 0.0401
b) Si las especificaciones requieren de todos los componentes tengan resistencia a la
tracción entre 9800 y 10,200 kilogramos por centímetro cuadrado inclusive, ¿qué
proporción de piezas esperaría que se descartará?
Proporción de descarte = 1 – P(9800 < X < 10200)
P(9800 < X < 10200) = P(9775 < X < 10225)
= Φ[ (10225 – 10000)/100] - Φ[ (9775 – 10000)/100]
= Φ[2.25] - Φ[-2.25] = 0.9878 – 0.0122 = 0.9756
Proporción de descarte = 1 – 0.9756 = 0.0244
13. Los CI de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente de forma
normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si la universidad requiere un CI de
al menos 95, ¿cuántos de estos estudiantes serán rechazados sobre esta base sin importar sus
otras calificaciones?
P(X < 95) = Φ[(95 – 115)/12]= Φ[-1.67] = 0.0478
Número de estudiantes rechazados = 600*0.0478 = 28.68 o 29
EJEMPLO 14
EJEMPLO 15
EJEMPLO 17
EJEMPLO 18
MUCHISIMAS GRACIAS HERMANO ME SACASTE DE UN PEDO GRANDE¡¡¡¡¡
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