DISTRIBUCION BINOMIAL 

Considere un experimento E con dos resultados solamente, uno denominado éxito (S) y el otro denominado fracaso (F). (sea P la probabilidad de éxito en un experimento E y sea q=1 -P la probabilidad de fracaso). supongamos que se repite el experimento E y que los ensayos son independientes, es decir, suponemos que el resultado de un ensayo no depende de resultados anteriores, como sucede al lanzar una moneda.Ensayos repetidos independientes de un experimento como ese, con dos resultados, se denominan pruebas de Bernoulli, en honor al matemático suizo jacob Bernoulli.

un experimento binomial consiste en un número fijo, por ejemplo n, de pruebas de Bernoulli. El termino "Binomial" proviene del siguiente teorema. Los experimentos binomiales como ese estarán representados pro 

B(n,p)

Es decir,B(n,p) representa un experimento binomial con n ensayos y una probabilidad y p de éxito. 

Con frecuencia, en un experimento binomial estamos interesados en la probabilidad de un cierto número de éxitos y no necesariamente en el orden en el cual estos ocurren. 

Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características:
. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso.
.La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.
.La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa por q,q = 1 p
.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente
.La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n.
La distribución bimomial se expresa por B(n, p)


LA DISTRIBUCION BINOMIAL 
Esta distribución fue elaborada por Jacobo Bernoulli y es aplicable a un gran número de problemas 
de carácter económico y en numerosas aplicaciones como: 
 - Juegos de azar. 
 - Control de calidad de un producto. 
 - En educación. 
 - En las finanzas. 
La distribución binomial posee las siguientes propiedades esenciales: 
1.- El espacio muestral contiene n ensayos idénticos. 
2.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos diferentes métodos de muestreo. 
Se puede considerar que cada observación se ha seleccionado de una población infinita sin 
reposición o de una población finita con reposición. 
3.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categorías conocidas como éxito E o 
fracaso E', las cuales son mutuamente excluyentes es decir E ∩ E' = 0. 
x1 x2 xk 
P(x)INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO Estadística 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS 6 M. en C. José Luis Hernández González 
4.- Las probabilidades de éxito p y de fracaso q = 1 - p en un ensayo se mantienen constantes, 
durante los n ensayos. 
5.- El resultado de cualquier observación es independiente del resultado de cualquier otra 
observación. 

La probabilidad de que el evento E ocurra x veces y el evento E' ocurra (n - x) veces en n ensayos 
independientes está dado por la fórmula binomial: 

donde: p = Probabilidad característica o probabilidad de éxito. 

 q = Probabilidad de fracaso 

 x = Número de éxitos deseados 

 n = Número de ensayos efectuados

Cálculo de probabilidades en una distribución binomial

n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito.

q es la probabilidad de fracaso.

EJEMPLOS
El número combinatorio 

EJEMPLO 1

La probabilidad de que Ana logre un objetivo 

en cualquier momento es P=1/3; de donde ella 

pierde con probabilidad q=1 -p=2/3. suponga 

que ella dispara al objetivo 7 veces. 

Este es un experimento binomial con n=7 y p=1/3.

 Encuentre la probabilidad de que ella alcance 

el objetivo:

(a) Exactamente 3 veces.(b) Al menos una vez.   

 (a) Aqui k=3 y por lo tanto n-k=4. 

La probabilidad de que ela alcance el objetivo 3 veces es 

p(3)=(7/3) (1/3)^3(2/3)^4=560/2187=0.26                                                                                  (b) La probabilidad de que ella nunca alcace el objetivo,
 es decier, que todos sean fracasos,es:

P(0)=q^7=(2/3) ^7=128/2187=0.06                                                                                                                           por tanto, la probabilidad de que ella alcance el objetivo al menos una vez 

1- q^7=2059/2187=0.94%                                                                                              

EJEMPLO2                                                                                                                          Se lanza una moneda equilibrada 6 veces; sea el resultado cara un éxito. 

Este es un experimento binomial con n=6 y p=q=1/2.Encuentre 

la probabilidad de que 

(a) Ocurra exactamente 2 caras 

(b)ocurra al menos 4 caras. 

(c) ocurra al menos 1 cara

.                                                                                                         

(a) Aquï  k=2, de donde n_k=4.

 La probabilidad de que ocurran exactamente 2 caras es la siguiente 

P(2)=(6/2)(1/2)^2(1/2) ^4=15/64=0.23                                                                            
 (b) La probabilidad de obtener al menos 4 caras, 
es decir, donde k=4, 5 o 6, es la siguiente                          
P(4)+P(5)+P(6)=(6/4)(1/2) ^ 4(1/2) ^2+(6/5)(1/2) ^5(1/2)+(6/6)(!/2) ^6

=15/64+6/64+1/64=22/64=0.34                                                                                       (c)La probabilidad de que no salgan caras ( es decir, 
que todos sean fracasos) es q^6=(1/2) ^6=1/64, 
entonces la probabilidad de una o mas caras es 

q^n=1-1/64=63/64=0.94                                                                                                                    

Ejercicio 3

                                                                                               

Ejemplo4                                                                                                                          

Ejercicio 5

Ejercicio 6

EJEMPLO 7.

 
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito
hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la
han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

 ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leído la novela 2    personas?

n = 4

p = 0.8

q = 0.2

B(4, 0.8)

8.-¿Y al menos 2?

Parámetros de la distribución binomial

Media

Varianza

Desviación típica

Ejemplo9

La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea
 defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. 
Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.

1. Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que sólo una 
de ellas es correcta. Un estudiante que no se había preparado la materia responde 
completamente al azar marcando una respuesta aleatoriamente. Calcula la probabilidad de que 
acierte 4 o más preguntas.

Solución:
Se trata de una distribución de probabilidad binomial, B(n, p), con n = 6, p = P(acierto) = 0,25 
y q = P(fallo) = 0,75. 
Como se sabe, para la B(n, p), la probabilidad de r aciertos en n intentos es: