CALCULO DE LA MEDIA Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Media aritmética

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los 
datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

Desviación Estándar

Esta medida nos permite determinar el promedio La desviación estándar (o desviación típica) es una medida de dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva. Es una medida (cuadrática) de lo que se apartan los datos de su media, y por tanto, se mide en las mismas unidades que la variable.

Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que representan los datos en su distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad a la hora de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.

Desviación estándar o Típica

aritmético de fluctuación de los datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza.

1.-El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente.

Por lo que su media es:

Con lo que concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507 gramos, con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicho peso en 12 gramos. Esta información le permite al gerente determinar cuanto es el promedio de perdidas causado por el exceso de peso en los empaques y le da las bases para tomar los correctivos necesarios en el proceso de empacado.

2.-Ejemplo: Desviación estándar para datos no agrupados

Calcular la desviación estándar al siguiente conjunto de datos muéstrales.

220	215	218	210	210
219	208	207	213	225
213	204	225	211	221
218	200	205	220	215
217	209	207	211	218

PASO 1: Calcular la media aritmética.

PASO 2: Calcular la varianza

En este punto, la varianza es identificada por S2.

PASO 3: Calcular la desviación estándar a partir de la raíz cuadrada de la varianza.

Los datos se alejan en promedio de la media aritmética en 6,5516 puntos.

3.- Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

2, 3, 6, 8, 11.

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

2, 3, 6, 8, 11.

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

4.-Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:

Meses	Niños
9	1
10	4
11	9
12	16
13	11
14	8
15	1

Calcular la desviación típica.

5.-.El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:

Sumas			2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Veces			3	8	9	11	20	19	16	13	11	6	4

Calcular la desviación típica.

6.-Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

7.-Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

8.-Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:

Altura		[170, 175)	[175, 180)	[180, 185)	[185, 190)	[190, 195)	[195, 2.00)
Nº de jugadores		1	3	4	8	5	2

Calcular la desviación típica

9.-Dada la distribución estadística:

	[0, 5)		[5, 10)			[10, 15)			[15, 20)			[20, 25)			[25, 8)
fi	3		5			7			8			2			6

Calcular la desviación típica.

 Media

No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.

Desviación típica

Si no hay media no es posible hallar la desviación típica.

10.- Calcular la desviación típica de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

xi	61	64	67	70	73
fi	5	18	42	27	8

Calcular:

1 La moda, mediana y media.

2 El rango, desviación media, varianza y desviación típica.

xi	fi	Fi	xi · fi	|x − x |	|x − x | · fi	xi2 · fi
61	5	5	305	6.45	32.25	18 605
64	18	23	1152	3.45	62.10	73 728
67	42	65	2814	0.45	18.90	188 538
71	27	92	1890	2.55	68.85	132 300
73	8	100	584	5.55	44.40	42 632
	100		6745		226.50	455 803

Moda

Mo = 67

Mediana

100/2 = 50 Me = 67

Media

Desviación media

Rango

r = 73 − 61 = 12

Varianza

Desviación típica

Desviación estándar

La desviación estándar o desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación estándar se representa por σ.

Desviación estándar para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviación estándar para datos agrupados

Ejercicios

Calcular la desviación estándar de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

	xi	fi	xi · fi	xi2 · fi
[10, 20)	15	1	15	225
[20, 30)	25	8	200	5000
[30,40)	35	10	350	12 250
[40, 50)	45	9	405	18 225
[50, 60)	55	8	440	24 200
[60,70)	65	4	260	16 900
[70, 80)	75	2	150	11 250
		42	1 820	88 050

Propiedades de la desviación estándar

1 La desviación estándar será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación estándar no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación estándar queda multiplicada por dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones estándar se puede calcular la desviación estándar total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:

Observaciones sobre desviación la estándar

1 La desviación estándar, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación estándar.

3 Cuanta más pequeña sea la desviación estándar mayor será la concentración de datos

Problemas de desviación típica. Cálculo de la media aritmética y la desviación típica en variables continuas y variables discretas. Diagramas

Variable discretas

Se ha preguntado a 40 personas el número de personas que forman el hogar familiar obteniéndose los siguientes resultados:

Número de personas en el hogar	2	3	4	5	6	7
Frecuencia	4	11	11	6	6	2

a)   Calcula la media, la mediana, la moda y la desviación típica.

b)   Haz el diagrama correspondiente.

Media aritmética,mediana, moda y desviación típica

Para resolver esto construimos una tabla, debemos fijarnos en las columnas que necesitamos para calcular lo que nos piden.

F_i   La frecuencia absoluta acumulada la necesitamos para calcular la mediana.

x_i·f_i   Necesitamos el sumatorio de esta columna para la fórmula de la media aritmética. Los valores se hallan multiplicando x_i·f_i de cada fila.

x_i²·f_i   Necesitamos este sumatorio para hallar la desviación típica. Para conseguir los valores se multiplica en cada fila el valor de x_i por x_i·f_i.

Tabla para calcular la media y desviación típica
personas xi	frecuencia fi	Fi	xi · fi	xi2 · fi
2	4	4	8	16
3	11	15	33	99
4	11	26	44	176
5	6	32	30	150
6	6	38	36	216
7	2	40	14	98
∑	40		165	755

Diagrama de barras por ser variables discretas

Variables continuas

En un test de inteligencia realizado a una muestra de 200 personas, se han obtenido los resultados siguientes:

Puntuación	30 - 40	40 - 50	50 - 60	60 - 70	70 - 80	80 - 90
Número de personas	6	18	76	70	22	8

a)   Calcula la media, y la desviación típica.

b)   Dibuja un histograma para representar gráficamente los datos, haz también el polígono de frecuencias.

Media aritmética y desviación típica

Es una variable continua, debemos hallar la marca de clase para cada intervalo sumando los valores extremos y dividiendo entre dos. Esta marca de clase la trataremos como x_i.

El resto de los sumatorios que necesitamos se hallan como en el ejemplo anterior.

Intervalos	Marca de clase  xi	Frecuencia  fi	xi · fi	xi2 · fi
30 - 40	35	6	210	7350
40 - 50	45	18	810	36450
50 - 60	55	76	4180	229900
60 - 70	65	70	4550	295750
70 - 80	75	22	1650	123750
80 - 90	85	8	680	57800
∑		200	12080	751000

Histograma y polígono de frecuencias

Para construir el polígono de frecuencias se unen las marcas de clase de cada intervalo.

EJERCICIO 1

Las edades de una muestra de turistas canadienses que vuelan de Toronto a Hong Kong, fueron :

32       21       60       47       54      17       72       55       33       41

a)  Calcule la amplitud de variación

   

  

  

b)  Determine la desviación media

    

c)  Evalúe la desviación estándar 

   

EJERCICIO 2

Los pesos ( en libras ) de una muestra de cinco cajas enviadas por el servicio de mensajería UPS es :

              12       6       7       3       10  

a) Obtenga la amplitud de variación

       12  -  3  =  9

b)  Calcule la desviación media

    

c)  Determine la desviación estándar

   

EJERCICIO 3

La Empresa Trout, inc cría truchas pequeñas en estanques especiales y las vende cuando adquieren cierto peo. Se aisló una muestra de 10 truchas en un estanque y se les alimentó con una mezcla especial denominada RT - 10. Al final del período experimental los precios de las truchas fueron (en gramos):

124       125       125       123       120       124       127       125       126     121

a)  Calcule la varianza usando la fórmula de la desviación

     

b)  Calcule la varianza usando la formula directa

 

  

c)  Determine la desviación estándar muestral