TEORÍA DE CONJUNTOS 

Es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

CONJUNTO 
Es cualquier colección de objetos de cualquier tipo que puede ser tratado como una entidad. los objetos que forman al conjunto se denominan elementos del conjunto.
por colección entendemos a una agrupación que está determinada por una propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso.
Todo conjunto es una colección de objetos no toda colección de objetos es  un conjunto.

PARA REPRESENTAR LOS CONJUNTOS Y SUS ELEMENTOS  
*Los conjuntos se designan con letra mayúsculas 
*Los elementos se designan con letras minúsculas 
*Los elementos del conjunto se encuentran entre llaves y se separan por comas.
*El símbolo € signfiaca  es elemento de o pertenece a 
*Análogamente Ɇ significa no es elemento de o no pertenece a 

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

• Union

  La  unión de los conjuntos  A y  B es el conjunto de todos los elementos de  A con todos los  elementos de  B sin repetir ninguno y se denota como  A∪ B . Esto es:
  
  
  
  
  
  

  
  Interseccion

  La  intersección de los conjuntos  A y  B es el conjunto de los elementos de  A que también  pertenecen a  B y se denota como  A∩ B . Esto es:
  
  
  
  
  
  
  Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen  nada en común. Por ejemplo:
  

  Complemento

  El complemento del conjunto  A con respecto al conjunto universal  U es el conjunto de todos los  elementos de U que no están en  A y se denota como  'A . Esto es:
  
  
  
  
  

  Diferencia

  La  diferencia de los conjuntos  A y  B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a  A y no pertenecen a  B y se denota como  A− B . Esto es:
  
  
  
  
  

• 
  

  Unión

  
  

  La unión tiene las siguientes propiedades:
  
  
  
  

  La unión tiene las siguientes propiedades:

  
  

  Conmutativa. A unión B = B unión A
  Asociativa. (A unión B) unión C = A unión (B unión C).
  Distributiva: A unión (B intersección C) = (A unión B) intersección (A unión C)
  Absorción: A unión (A intersección B) = A
  Idempotencia: A unión A = A
  Elemento neutro: A unión conjunto vacío = A
  Dominación: U unión A = U
  Inversa: A unión A' = U
  Inversa de Morgan: (A unión B) ' = A ' intersección B '
  
  

  Intersección 

  
  

  La intersección tiene las siguientes propiedades:
  Conmutativa. A intersección B = B intersección A,
  Asociativa. (A intersección B) intersección C = A intersección (B intersección C).
  Distributiva: A intersección (B unión C) = (A intersección B) unión (A intersección C)
  Absorción: A intersección (A unión B) = A
  Idempotencia: A intersección A = A
  Elemento neutro: A intersección conjunto vacío = A
  Dominación: conjunto vacío intersección A = U
  Inversa: A intersección A' = U
  Inversa de Morgan: (A intersección B) ' = A ' unión.
  
  
  
  

  CLASES DE CONJUNTOS

  
  

  Conjunto Finito: 

  Es el conjunto al que se le puede determinar su cardinalidad o puede llegar a contar su último elemento. Se dice que un conjunto es finito si existe una correspondencia biunívoca entre los elementos del conjunto y los elementos de algún conjunto n , y se dice que n es la cardinalidad del conjunto.

  
  

  Ejemplos:

  
  

  M= {*/x es divisor de 24}

  O= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

  P= {d|d es una capital del estado de Coahuila}

  Q= {p|p es un número primo y 10 ˂ x ˂ 50}

  R= {x|x es un rio de la tierra}, R es finito aunque sea difícil contar los ríos del mundo

  
  

  Conjunto Infinito:

   Es el conjunto que, por tener muchísimos elementos, no se le puede llegar a contar su último elemento. Se dice que un conjunto es infinito contable (o inifito numerable o que la cardinalidad del conjunto es infinita contable), si existe una correspondencia uno a uno entre los elementos del conjunto y los elemento de   .

  
  

  Ejemplos:

  
  

  A= {*/x sea grano de sal}

  B= {x|x € R0 Y ≤ x ≤ 1}

  C= {1, 2, 3, 4,….} donde C es infinito

  
  

  Conjunto Vacío:

   Es el conjunto cuya cardinalidad es cero ya que carece de elementos. El símbolo del conjunto vacío O o { }.

  
  

  Ejemplo:

  
  

  C= {*/x sea habitantes del sol}

  D = {x/x2 = 4, x es impar}.

  
  

  Conjunto Unitario: Es el conjunto que solo tiene un elemento. Su cardinalidad es uno (1). 

  
  

  Ejemplo:

  
  

  D= {*/x sea vocal de la palabra "pez"}

  E= {5}

  F= {números pares entre 6 y 10} = {8}

  G= {la capital de Perú}= {Lima}

  H= {x/2x=6}= {3}

  
  

  
  

  DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

  Hay tres  formas de determinar conjuntos.

  · Forma Enumerativa, por Extensión o Forma Tabular:

  La representación enumerativa de un conjunto consiste en escribir uno a uno los elementos que conforman un conjunto dado.

  Ejemplo:
  A = {a, e, i, o, u}
  B = {0, 2, 4, 6, 8 }
  C = { c,o , n, j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.

  · Por Comprensión o Forma Descriptiva:

  Esta forma consiste en determinar la caracteristica comun entre los elementos que posee un conjunto.

  Ejemplo:
  A = { x/x es una vocal }
  B = { x/x es un número par menor que 10 }
  C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }

  · Forma Gráfica:

  En esta forma se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula.

  Ejemplo:

  

  
  

  OPERACIONES CON CONJUNTOS

  
  

  UNION DE CONJUNTOS:

  
  

  La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:

  A U B = {x / x € A o x € B}

  
  

  

  
  

  EJEMPLOS:

  
  Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }
  
          a) A U C       b) B U C

  · A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }
  A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }

  

  
  

  ·  

  B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }

             B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }         B U C = {x/x € N y x > 0 < 8 }
  
  
  INTERSECCION DE CONJUNTOS:

  
  

  
  La interseccion es el conjunto formado por los elementos que son comunes entre dos o mas conjuntos dados. Se denota por  A  B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:

  A  B = { x / x € A y x € B }

  
  

  

  
  

  EJEMPLOS:

  
  

  Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }

  
  

           a) A  C         b)  B  C

  
  

  
  

  ·  

  A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }

             A  C = { 2 , 4 }

  

  
  

  ·  

  B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }

              B C = { O }
  
  
  
  DIFERENCIA DE CONJUNTOS:
  
  Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.
  
  La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:

  A - B = {x / x € A y x  B}

  
  

  A - B

  

  
  EJEMPLOS:
  
  Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }
  
         a) A - C          b) B - C
  
  

  · A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }

            A - C = { a, b, c, e }

  

  
  

  ·  

  B = { a, e } y C = { d, f, g }

              B - C = { a, e }
  
  
  DIFERENCIA SIMETRICA:
  
  El conjunto diferencia simétrica de A y B está formado por los elementos del universo que pertenecen a uno y solamente uno de ellos, es decir, que pertenecen a A , o a B , pero no a ambos:

  
  

  

  
  

  EJEMPLO:

  
  Sean:
  U = { p , r , s , t }
  A = { p , s }
  B = { r , s }
  Entonces:

  
  
  COMPLEMENTO DE CONJUNTOS:
  
  Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:
  
  

   A' = { x/x € U y x  A }

  
  

  EJEMPLOS:

  
  

  Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e }

  
  Su complemento de A es: A' = { m, a, r }