PROBABILIDAD SIMPLE

PROBABILIDAD SIMPLE, CONJUNTA Y CONDICIONAL

La probabilidad simple, determina la probilidad de ocurra un evento especifico durante un experimento o de un conjunto de información proporcionada.

Probabilidad es la posibilidad de que un evento ocurra. Es la cantidad de formas en la que un evento 

pueda ocurrir. En otras palabras lo que quieres que pase entre todo lo que pueda pasar. Lo 

escribiremos a si:

Probabilidad = Numero de eventos que queremos que sucedan /Numero de eventos o sea todo lo que pueda pasar 

	Cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder
Probabilidad simple =
	Cantidad total de posibles resultados

La posibilidad que hay de que ocurra algún evento determinado. Probabilidad simple es igual a la cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder entre la cantidad total de posibles resultados. Una manera, muy usada en la práctica, de denominar la probabilidad un evento simple de un espacio muestral es como probabilidad simple o marginal, la cual hace referencia a la probabilidad de un evento simple, y se denota con P(A), siendo A el evento simple en cuestión. El nombre de probabilidad marginal se debe a que esta medida se puede obtener a partir de los totales marginales de una tabla de contingencia.

Árbol de Probabilidad o Diagrama de Árbol
Sea  lanza una moneda cargada, a favor del lado del águila, si cae águila la moneda se saca una bola de una urna A en caso contrario de la urna B, la urna A tiene objetos de tipo s, la urna B objetos de tipo r, se sabe que por el contrario la urna B tiene objetos de tipo s y r, pero no la misma cantidad. Bosqueje mediante un diagrama de árbol la solución, a fin de encontrar la probabilidad. Cada flecha del diagrama se denomina rama del árbol; a cada rama, asignamos la probabilidad que le corresponde.



Ejemplo1

 Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución: 

• Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)

• 68 ÷ 87 = 0.781609

• Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78

• En el caso que los eventos sean mutuamente excluyentes es decir que uno impida la ocurrencia del otro, en este caso la probabilidad se determina de la siguiente manera:

• En el caso que los eventos sean no excluyentes, es decir que uno no interfiera con la ocurrencia del otros se determina

                                          

Ejemplo 2: ¿Cuál es la probabilidad de sacar el número 6, al rodar un dado de seis lados?

Primeramente piensa en cuantos lados hay en un dado de 6. Seria 6 lados. 

1 2 3 4 5 6 ¿Cómo escribimos esta probabilidad?

El número que va en el numerador es lo que queremos que ocurra. Y es 6, seria, ¿Cuantos seis hay en 

un dado de seis lados?

Si ves todas las probabilidades, notaras que es solamente un numero 6. Quiere decir que el número que va en el numerador, lo que queremos que ocurra seria 6, y solo pasara una vez. En el numerador será 1 y en el denominador es todo lo que pasara. ¿La pregunta será, cuantos lados tenemos en un dado? 

Tenemos 6 lados seria 6 posibilidades. Quiere decir en el denominador tendremos todos los posibles 

que serian seis.

1 2 3 4 5 6 Entonces la probabilidad de rodar un dado de seis es 1 de cada 6, o ⅙, o uno de seis. 

Ahora haremos un segundo ejemplo.

Ejemplo 3

 ¿Cuál es la probabilidad de rodar un múltiplo de 2 en un dado de 6 lados? Bueno, escribe tu 

probabilidad. En el numerador es lo que queremos que ocurra, en el denominador es todo lo que pase. 

Entonces veremos nuestra posibilidad 1, 2, 3, 4, 5, 6, ¿Qué significa múltiplo de 2? Quiere decir 2 por 1 

=2, 2 por 2= 4, o, 2 por 3= 6. Entonces 2, 4, y 6, serian posibilidades. No sabemos cuál de estos serán, 

pero queremos uno de ellos. En esta lista cuantas posibilidades serán. Serán, 3 diferentes probabilidades. Quiere decir en el numerador la probabilidad será 3. En el denominador será todo lo 

que pueda pasar. Seria 6. Escribiremos la probabilidad que seria,

P= (rodar un múltiplo de 2)= 3 pero este se reduce, y será 6

1 Este quiere decir de que de cada 2 veces que ruedes el dado, una vez será el average, será un 

2 múltiplo de dos. Otra forma de decir esto es, uno de dos.

Veremos que quiere decir con reemplazo y sin reemplazo.

En algunos experimentos el número de posibilidades puede cambiar para cada evento. Como este. 

Vamos a escoger 2 canicas de una bolsa, una por una. Podemos decir que la bolsa tiene 20 canicas. Sin 

reemplazo, quiere decir la canica escogida de la bolsa de 20 no será devuelta a la bolsa original. Y la 

segunda canica fue escogida sin reemplazar la primera. Entonces el número de posibilidades para el 

segundo evento es solo 19 canicas en vez de 20. En otras palabras, sacamos una canica y en vez de 

colocarla de nuevo en la bolsa, actualmente no lo hicimos la dejamos fuera de la bolsa. Ahora en vez 

de 20 canicas, hay solo 19 canicas para escoger en el segundo evento que necesitamos la segunda 

canica. Este es sin reemplazo.

Con reemplazo quiere decir cada vez que escogimos una canica la observamos y pensamos “y ahora que 

haremos” la volvemos a colocar en la bolsa. Entonces si hacemos esto el número de posibilidades para 

el segundo evento sigue siendo 20. Siempre será 20 si reemplazamos la canica cada vez. Esta es la 

diferencia entre reemplazo, echar la canica de nuevo en la bolsa, y sin reemplazo quiere decir, sacamos 

la canica de la bolsa la observamos y la colocamos a un lado antes de nuestro próximo experimento.

Ejemplo 3. 

Hay 20 canicas en una bolsa, 5 son de color rojas, y 15 son de color azul. ¿Cuál será la 

probabilidad de seleccionar una canica roja y una canica azul, sin reemplazar la canica roja?

Este es nuestra secuencia de evento. Vamos a escoger la canica roja y una azul, y queremos que estas 

dos sucedan. Miremos la canica roja primero, la probabilidad de la canica roja será… ¿Cuántas canicas 

rojas hay? Hay 5. Entonces 5 va en el numerador. ¿De cuántas canicas escogeremos en la primera 

vez? Serán 20 canicas de donde escogeremos. Entonces la probabilidad será:

P (canicas rojas) = 5

20 

Reduces y será, P = 1/4 Entonces la probabilidad de escoger una canica roja es la primera ocasión es 

¼ (una de cuatro veces)

Pero esto no es lo único que queremos que suceda en la próxima ocasión de escoger, queremos una 

canica azul. Pero recuerda que no hechos reemplazado la canica roja. En el numerador tendremos 15, 

en el denominador no tenemos 20 canicas porque no hemos reemplazado la roja, entonces tenemos 19 en el denominado. 

P (canica azul sin reemplazo) = 15/19 esta es la probabilidad de escoger una canica azul en la segunda oportunidad. Pero queremos que sucedan las dos. 

¿Cómo figuraremos las dos probabilidades?

 La probabilidad de una canica azul sin reemplazo y una roja, serian multiplicar las dos o sea

1/4 x 15/19 = 15/76 quiere decir por cada 76 veces que hagas este experimento solo 15 veces 

tendrás la roja primero y la canica azul segundo. Esto es lo que significa sin reemplazo.

Este es un repaso de Probabilidades.

 1)         Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución:

·         Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)

·         68 ÷ 87 = 0.781609

·         Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)

                       2)         Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución:
* Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)
* 68 ÷ 87 = 0.781609
* Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)

3.-Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:

P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.

4.-- la probabilidad de que al lanzar un dado, salga el numero 2 es de 

1/6

porque el dos es solo uno de 6 numeros que hay en total.

5.-En una sala de clases hay 20 mujeres y 12 hombres. Si se escoge uno de ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que lapersona escogida sea hombre? 

Solución:

Por definición, la probabilidad de que un suceso ocurra viene dada por:

P=casos favorables/casos totales o posibles (P).

En particular, hay 12 hombres, por lo tanto son 12 los casos favorables a dicha selección. Pero ella se hará de un total de 20 + 12 = 32 personas sumamos la cantidad de mujeres y hombres que forman parte de la selección y por tanto, los casos posibles o totales.

Así, la probabilidad pedida es

P= 12/32

6.-.- En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres.Han comido carne 16 hombres y 20 mujeres, comiendo pescado el resto. Si se elige una de las personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?

Solución:

La información sobre lo que come cada una de las personas es insustancial. Pues en lo que solicita no hay relación con ello. Por definición, la probabilidad pedida viene dada por:

P= casos favorables a la selección 28/casos totales de la muestra 60

P= 28/60

7.-.-En un curso de 30 alumnos 18 son mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una persona está no sea mujer?

Solución:

Claramente nos piden la probabilidad de que al escoger una persona, esta sea hombre. Pues bien, si de los 30 alumnos, 18 son mujeres, entonces hay 12 hombres. Luego, la probabilidad pedida es:

P=casos favorables a la selección 12/casos totales de la muestra 30

P=12/60

8.-.-¿Cuál es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 números en total, si se compran los 3 centésimos de tal cantidad?

Solución:

3 Centésimos equivale al 3%. Y la probabi

lidad asociada a tal porcentaje es 3/100.

P= 3/100

9.-.-La probabilidad de que al sacar una carta al azar de un naipe inglés (52 cartas), ella sea un as es:

Solución:

Los casos favorables a obtener un as son 4.

Los casos totales o posibles de extraer son 52 (puede salir cualquier carta).

Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P=4/52

P=1/13

10.-.-En un jardín infantil hay 8 morenos y 12 morenas así como 7 rubios y 5 rubias. Si se elige un integrante al azar, la probabilidad de que sea rubio o rubia es:

Solución:

Hay un total de 32 niños. Los rubios o rubias suman 12. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P=casos favorables (rubios o rubias)/ total de niños

P=(7 + 5)/(8 +12 +7 + 5)

P=12/32 8

P=3/8

11.--Al lanzar al aire tres veces una moneda, la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga sello es:

Solución:

No importa lo que ocurra en los dos últimos lanzamientos. Es sólo considerar la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga sello. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P=cantidad de resultado(s) favorable(s) / cantidad resultados posibles

P=1/2

12.-.-Se lanzó un dado honesto –no cargado- dos veces, obteniéndose 4 en ambas oportunidades. ¿Cuál es la probabilidad de que en un tercer lanzamiento se obtenga nuevamente 4?

Solución:

Los dos lanzamientos previos ya no son de interés, dado que se tiene certeza de sus resultados. Solo nos interesa a partir de ello la probabilidad de que en un lanzamiento se obtenga 4. Como hay seis resultados posibles y uno solo favorable, la probabilidad pedida es:

P= cantidad de resultado(s) favorable(s) /cantidad resultados posibles

P=1/6

13.-.-Una persona tira tres veces una moneda y las tresveces obtiene cara. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuarta vez obtenga sello?

Solución:

Los tres primeros lanzamientos ya no son deinterés, dado que se tiene certeza de sus resultados. Solo nos interesa a partir de ello la  probabilidad de que en un solo lanzamiento se obtenga sello. Como hay dos resultados posibles y uno solo favorable, la probabilidad pedida es: 1/2

14.-.-Se lanzan al aire consecutivamente dos monedas, la probabilidad de que la segunda sea cara es:

Solución:

No se solicita nada de la primera moneda. Por lo que solo hay que remitirse a la segunda moneda. El segundo lanzamiento –como cualquier otro, tiene dos resultados posibles, cara o sello. De los cuáles uno de ellos es favorable a lo pedido. Por lo tanto, la probabilidad pedida es

P=1/2

15.-.-Se lanzan al aire uno tras otro tres dados de seis caras numeradas del 1 al 6. La probabilidad de que el número de tres cifras que se forme, empiece con 4 es:

Solución:

Dan lo mismo los resultados del segundo y tercerlanzamiento. Sólo interesa obtener 4 en el primero. Al lanzar el primer dado tenemos un caso favorable a obtener 4 y seis casos posibles, por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P=casos favorables/casos totales

P= 1/6

16.-.-La probabilidad de que al lanzar un da

do se obtenga un número menor que 5 es:

Solución:

Los casos favorables a obtener un número menor que 5 son {1, 2, 3, 4} de un total de seis resultados posibles. Por lo tanto, la probabilidad pedida es

P= 42/63

17.-Carolina lanza un dado no cargado. ¿Cuál es la probabilidad de que ella obtenga un número menor que 3?

Solución:

Los casos favorables a obtener un número menor que 3 son {1, 2} de un total de seis resultados posibles. Por lo tanto, la probabilidad pedida es

P= 21/63

18.-Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par, menor que 5?

Solución:

Sea A ≡Obtener un número par menor que 5 = {2, 4} ⇒#A = 2.

La probabilidad pedida es

P(A)=casos favorables/ casos totales

P(A) = 2/6

19.-Se lanza un dado y se obtiene 2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un segundo lanzamiento se obtenga un número que, sumado con 2, sea inferior a 6?

Solución:

Al lanzar el segundo dado tenemos seis resultados posibles, pero los que favorecen una suma con 2, inferior a 6 son: 1, 2, 3. Es decir, tenemos 3 casos favorables.

La probabilidad pedida es=casos favorables / casos totales

P= 3/1

P=6/ 2

.

20.-Se lanza un dado y se obtiene 3. ¿Cuál es la probabilidad de que en un segundo lanzamiento se obtenga un número que sumado con 3 se obtenga un número inferior a 5?

Solución:

Al lanzar el segundo dado tenemos seis resultados posibles, pero el resultado que sumado con 3, resulta ser inferior a 5 es únicamente el uno.  Es decir, hay 1 caso favorable de 6 resultados en total tras el segundo lanzamiento. Por lo tanto, la probabilidad pedida es

P=casos favorable /casos totales

.P=1/6

21.- De 25 televisores que se fabrican, 1 sale defect

uoso. ¿Cuál es la probabilidad de escoger uno

defectuoso en 100 televisores?

Solución:

Si de 25 televisores que se fabrican 1 sale defectuoso, entonces, la probabilidad de escoger uno defectuoso es

P= 1/25.

22.-Se hace girar la flecha de la ruleta una vez, si la probabilidad de seleccionar alguna línea divisoria es despreciable, la probabilidad de obtenerun número mayor que 4 es:

Solución:

Hay 4 números favorables: 5, 6, 7, 8; de un

total de 8 números posibles. La probabilidad

pedida es

P=41/82

23.-Se extrae una carta al azar de una baraja de naipe español (40 cartas, 4 pintas o palos: oro, copa, espada y basto). La probabilidad del suceso “sacar una carta que no sea oro” es:

Solución:

Hay 30 cartas de un total de 40, que no son oro. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P= casos favorables a no ser oro/ total de cartas posibles a extraer

P=30/40

24.-Una tómbola tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Al sacar una de las bolas, la probabilidad de que el número grabado en ella sea divisor de 5 es:

Solución:

Un número entero es divisible por otro si el resultado de dividir al número por el otro es igual a cero. De los números indicados solo si mismo

Entonces, la probabilidad pedida es :

P= casos favorables/ casos posibles

P=2/5

23.-La probabilidad de que al hacer rodar un dado, salga un número primo es:

Solución:

Los casos o resultados posibles al lanzar el dado son {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Esto es, seis casos totales. Los casos favorables a obtener un número primo (divisible solo por 1 y por sí mismo) son: 2, 3, 5. Esto es, tres casos. Por lo tanto, 3 1

P(primo) = casos favorables/ casos totales

P=3/6

P=1/2

24.-Hacemos rodar un dado de seis caras; entonces la probabilidad del suceso “obtener 2” sabiendo que ha salido un número par es:

Solución:

Es un hecho que los casos posibles o espacio muestral es E = {2, 4, 6}

⇒#E = 3. Pues se sabe que ha salido par. El caso favorable es un solo número. Así

P(2) = 1/3

.

25. Si se lanzan 3 dados no cargados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 5 en los tres lanzamientos?

Solución:

Al lanzar un dado obtenemos la base del espacio muestral: E’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}⇒#E’ = 6 resultados posibles. Y la probabilidad de obtener un cinco

Es:

P=1/6

.

Al lanzar tres dados, las combinaciones de resultados posibles que conforman el espacio muestral sigue un principio multiplicativo sobre la base de un dado, esto es:

#E = (#E’)3= 63= 6 •6 •6 =216.

Mientras que la probabilidad de obtener un cinco en cada uno de los tres lanzamientos es, según el principio multiplicativo para eventos independientes:

P= (1/6)(1/6)(1/6)(1/6)

P=1/216

26.- Se hacer rodar 2 veces un dado común y se considera la suma de los puntos obtenidos en ambos lanzamientos. La primera vez sale un número par. La probabilidad que la suma sea mayor que 7 es:

Solución:

El espacio muestral al lanzar los dos dados es el que muestra la figura. Constando de 36 casos posibles. Para hallar los casos favorables, hay que buscar entre los casos posibles aquellos que comiencen con un número par y cuya suma con el otro resultado sea mayor que 7:

{(6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6),

(4,4), (4,5), (4,6), (2,6)}.

Totalizando 9 casos favorables. Entonces, la probabilidad pedida es

P=9/36

P= 1/4

PROBABILIDAD CONJUNTA

La probabilidad conjunta se da cuanto se requiere que dos eventos ocurran de manera simultanea y existen dos casos:

P( A o B) = P(A) + P(B)

P(A o B)= P(A) + P(B) – P(A y B)

La probabilidad condicional, calcula la probabilidad de que ocurra un evento (A), dado que ya ocurrio un evento (B) y se determina mediante:

P(A/B) = P(A y B) / P(B)

A1.8

 Si  observas esta   regla,  puedes  darte  cuenta  que  se  relaciona   fuertemente   con  la  Intersección   entre   conjuntos  ( y ), es  una  multiplicación.

Ejemplo  1: Se  sacan   dos  cartas  sin  restitución  (  se  saca  la  primera   se  observa  y  no  se  vuelve  a  meter ) de  una  baraja  de   52  cartas, ¿ Cuál  es  la  probabilidad  de  que   ambas  sean  reyes ?

Sea  R = sacar  un rey

Observe  que lo  que   necesitamos  es   la  probabilidad  de  sacar un  rey  en la   primera  carta  y  un  rey  en la  segunda, es  decir:

                                          

1.-Un estuche contiene 3 lápices rojos y 2 negros. Si se sacan uno a uno 2 lápices sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que esos lápices sean negros?

Solución:

P (1º lápiz negro) = casos favorables/ casos totales

P=2/5

2.-Si lo datos fueran los mismos en el primer problema.Tras satisfacerse esta probabilidad, queda en el estuche 1 lápiz negro y 4 lápices en total.

P (2º lápiz negro) = casos favorables/ casos totales

P=1/4

3.-La probabilidad de sacar dos lápices negros es:

P=(2/5)(1/4)

P=2/20

P= 1/10

2.-En una tómbola hay 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extraen unaa una y sin reposición, dos bolas. La probabilidad de que ambas resulten rojas es:

Solución:

Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida

será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 3 casos favorables de untotal de 8 bolas. La probabilidad es 3/8. La 2º tiene 2 casos favorables de un total de7 bolas que quedan. Su probabilidad es 2/7  Así, la probabilidad pedida es

P=(3/8)(2/7)

P=(3/4)(1/7)

P=3/28

3.-Desde una tómbola en la que sólo hay 5 bolitas, 2 negras y 3 rojas, se extraen dos, de una en una y sin reposición. Entonces, la probabilidad de que ambas resulten negras es:

Solución: Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 2 casos favorables de un total de 5 bolas. Su probabilidad es 2/5. La 2º extracción tiene 1 caso favorable de un total de 4 bolas que quedan. Su probabilidad es 1/4 .Así, la probabilidad pedida es

P= (2/5)(1/4)

P= (1/5)(1/2)

P= 1/10

4.-En una urna hay 10 fichas blancas y 5 azules. La probabilidad de que, de dos fichas extraídas una tras otra sin devolución, la primera ficha sea blanca y la segunda sea azul es:

Solución:

Sea B ≡La primera ficha sea blanca.

        A ≡La segunda ficha sea azul.

La probabilidad pedida es P (B) •P(A) ,(casos favorables/casos totales), así:

P (B)*P(A)

P= (10/15)(5/14)

P= (5/3) (1/7)

P=5/21

5.-Se extraen dos cartas de una baraja española, una después de la otra sin devolución. La probabilidad que la segunda cartasea un rey, dado que la primera carta fue rey de bastos es:

Solución:

La baraja española consta de 4 reyes en 40 cartas. Después de la 1era extracción quedan 3 reyes en un total de 39 cartas. Entonces, la probabilidad pedida es

P=3/39

P=1/13

6.-Si Pedro tiene un llavero con 4 llaves y solo una de ellas abre una puerta. ¿Cuál es la probabilidad de que si prueba las llaves, logre abrir la puerta al tercerintento sin usar una llave más de una vez?

Solución:

En el primer y segundo intento falla, por lo que hay que considerar solo como casos favorables aquellos en que la llave no es correcta. En el tercer intento hay que considerar como caso favorable únicamente el caso en que la llave es correcta. Como además no se repite ninguna llave, de un intento a otro habrá una llave menos. La probabilidad pedida es:

P(abre 3º intento) =

P(falla en 1º intento) •P(falla en 2º intento) •P(acierta en 3º intento)

P(abre 3º intento) = (3/4)(2/3)(1/2)

P(abre 3º intento) = 6/24

P(abre 3º intento) = 1/6

7.-De un naipe de 52 cartas se extraen consecutivamente 2 cartas al azar, sin restitución. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea el as de trébol y

la segunda sea un 4?

Solución:

Sea los eventos

A ≡extraer un as de trébol de un mazo de 52 cartas

 ⇒ P(A) = casos favorables hay un solo as de trébol/ casos totales hay 52 cartas en total  1

P=1/52

extraer un 4 de un mazo de 51 cartas.

⇒ P(B) =casos favorables hay cuatros naipes con número 4 / casos totales Quedan

  P(B) =(1 por cada pinta) 4/51 cartas en total

La probabilidad pedida es:

P(A) •P(B) = (1/52)(4/51)

8.-Se toman una a una y sin reposición, cinco cartas de una baraja de 52. ¿Cuáles la probabilidad de que las cuatro primeras seanases y la última, reina de diamantes?

Solución:

Cada extracción es sin reposición, por lo que la cantidad de cartas (y particularmente ases), va disminuyendo de una en una. Además, cada extracción es independiente. La probabilidad pedida viene dada por:

P=(4/52)(3/51)(2/50)(1/49)(1/48)

P= (4! 4!• 47! 4!)/( • 51• 50 • 49 • 48 • 47!)

P= 4•7!/52!

9.-La cardinalidad del espacio muestral, o el número de casos posibles que hay, al extraer 4 cartas de un total de 52, viene dada, sin importar el orden en que se extraen, por:

P(Diez) = 4/51

P(Diez)=(4/52)(4/51)

P=(1/13)( 4/51)

P=4/663

La cardinalidad del espacio muestral, o de casos posibles que hay, al extraer 1 carta de las 48 restantes viene dada, por:

P(As) = 4/52

P(Diez) = 4/52

P(Diez) = 4/5151

10.- En una tómbola hay 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extraen unaa una y sin reposición, dos bolas. La probabilidad de que ambas resulten rojas es:

Solución:

Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 3 casos favorables de un total de 8 bolas. La probabilidad es 3/8. La 2º tiene 2 casos favorables de un total de 7 bolas que quedan. Su probabilidad es 2/7 .Así,

la probabilidad pedida es : (3/8)(2/7)=( 3/4)(1/7)=3/28

11.- Desde una tómbola en la que sólo hay 5 bolitas, 2 negras y 3 rojas, se extraen dos, de una en una y sin reposición. Entonces, la probabilidad de que ambas resulten negras es:

Solución:

Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, laprobabilidad pedida será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 2 casos favorables de untotal de 5 bolas. Su probabilidad es 2/5. La 2º extracción tiene 1 caso favorable de un total de 4 bolas que quedan. Su probabilidad es 1/4 Así

La probabilidad pedida es=(2/5)(1/4)=(1/5)(1/2)=1/10

12.- En una urna hay 10 fichas blancas y 5 azules. La probabilidad de que, de dos fichas extraídas una tras otra sin devolución, la primera ficha sea blanca y la segunda sea azul es:

Solución:

Sea B ≡La primera ficha sea blanca.

       A ≡La segunda ficha sea azul.

P(B) •P(A) y conforme a Laplace (casos favorables/casos totales)

P(B)•P(A) =(10/15)(4/14)=(1/3)(5/7)=1/21

13.- Se extraen dos cartas de una baraja española, una después de la otra sin devolución. La probabilidad que la segunda cartasea un rey, dado que la primera carta fue rey de bastos es:

Solución:

La baraja española consta de 4 reyes en 40 cartas. Después de la 1era extracción quedan 3 reyes en un total de 39 cartas. Entonces,

la probabilidad pedida es=3/39=1/13

14.- Si Pedro tiene un llavero con 4 llaves y solo una de ellas abre una puerta. ¿Cuál es la probabilidad de que si prueba las llaves, logre abrir la puerta al tercer intento sin usar una llave más de una vez?

Solución:

En el primer y segundo intento falla, por lo que hay que considerar solo como casos favorables aquellos en que la llave no es correcta. En el tercer intento hay que considerar como caso favorable únicamente el caso en que la llave es correcta. Como además no se repite ninguna llave, de un intento a otro habrá una llave menos.

La probabilidad pedida es:

P(abre 3º intento) = P(falla en 1º intento) •P(falla en 2º intento) •P(acierta en 3º intento) =(3/4)(2/3)(1/2)=(6/24)=1/4

14.- De un naipe de 52 cartas se extraen consecutivamente 2 cartas al azar, sin restitución. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea el as de trébol y la segunda sea un 4?

Solución:

Sea los eventos A ≡extraer un as de trébol de un mazo de 52 cartas hay un solo as de trébol 1

P(A) =casos favorables/ casos totales = 1/52

B ≡extraer un 4 de un mazo de 51 cartas, hay cuatros naipes con número

P(B) = casos favorables/ casos totales = 4/51=

Quedan 51 cartas en total 51

La probabilidad pedida es P(A) •P (B) = (1/52)(4/51)

15.-Se toman una a una y sin reposición, cinco cartas de una baraja de 52. ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro primeras seanases y la última, reina de diamantes?

Solución:

Cada extracción es sin reposición, por lo que la cantidad de cartas (y particularmente ases), va disminuyendo de una en una. Además, cada extracción es independiente.

La probabilidad pedida viene dada por:

P= (4/52)(3/51)(1/50)(1/49)                               P= 4!/(52 51 50 49 48)

P= (4!• 47!)/ 52 • 51• 50 • 49 • 48 • 47!             P= (4!• 47!)/ 52!

16.- Se sacan dos cartas, una tras otra, sin restitución, de una baraja de 52. ¿Cuál es la probabilidad que éstas sean un as y un diez?

Solución:

Tenemos un evento sin sustitución que puede

ocurrir de dos maneras. Ya sea si primero obtenemos el As y después un diez o viceversa. Además, al extraer la primera carta ya no habrá 52 en el mazo, sino que 51 para la próxima extracción. Por lo tanto la probabilidad pedida será una suma de probabilidades que considerará las dos maneras en que puede suceder lo pedido:

P(obtener un as y un diez) = P(Sacar 1º As y después 1diez + P(Sacar 1º diez y después el As)

P= (4^1/52^13)(4/51) + (4^1/52^13)(4/51)

P=2((1/13)(4/51))

P= 8/663

17.- La probabilidad de iniciar un noviazgo es 2/5y la probabilidad de llegar a tiempo al registro civil el día de mi matrimonio es 3/4. ¿Cuál es la probabilidad de no casarme?

Solución:

Sean los eventos:

A ≡iniciar un noviazgo.

 B ≡llegar a tiempo al registro civil el día de mi matrimonio.

El evento de casarme viene dado por B/A, es decir, llegar a tiempo al registro civil dado que he iniciado un noviazgo. Dado que un evento influye sobre el otro. No puedo considerar el caso de no tener noviazgo. La probabilidad de casarme viene dado por la probabilidad de tener un noviazgo y de llegar a tiempo al registro civil. Es decir,

P(casarme) = (2/5)(3/4)                                               P=3/10                           P=(3/10)(100%)                                                           P=30%

18.-Se seleccionan al azar dos números de entre los números del  1 al 9, si la suma de los números que aparecen es par. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares 

Solución:

d = {₉C₂ = 36 maneras de seleccionar dos números de entre nueve que se tienen}       

(1,2)

 (1,3) (2,3)

 (1,4) (2,4) (3,4)

d =  (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)

(1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7)

(1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8)

(1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9)

E = evento de que la suma de los números que se seleccionan sea par

        

       (1,3)

       (2,4)

E =  (1,5) (3,5)

       (2,6) (4,6)

       (1,3) (3,7) (5,7)

       (2,8) (4,8) (6,8)

       (1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

E = {16 elementos }

A = evento de que ambos números sean pares

   

        (2,4)

A =  (2,6) (4,6)

      

       (2,8) (4,8) (6,8)

A = {6 elementos}

              (2,4)

AÇE =  (2,6) (4,6)

      

              (2,8) (4,8) (6,8)

½AÇE½ = 6 elementos ,              p(A½E) = ½AÇE½/ ½E½= 6/16 = 0.375

19.- Una pareja de recién casa dos ha decidido formar una familia de solo tres hijos, a. determine la probabilidad de que tenga puros hijos varones, b. ¿cuál es la probabilidad de que tenga como máximo un hijo varón, c. ¿cuál es la probabilidad de que su segundo hijo sea varón, d. Si esta familia tiene por lo menos una hija, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo hijo sea varón?, e. Si esta familia tiene como máximo un hijo varón, ¿cuál es la probabilidad de que tenga puras hijas?

Solución:

 Lo primero que hay que obtener para resolver este problema es el espacio muestral, para lo cual nos podemos ayudar con un diagrama de árbol en donde representemos uno tras otro el nacimiento de cada uno de sus hijos, en donde solo consideraremos partos de un solo bebé, no múltiples y se considera que existe la misma probabilidad de que nazca un varón o una niña.

Y el espacio muestral obtenido es:

H = niño

M = niña

d = {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}

a.       A = evento de que la familia tenga puros hijos varones

A = {HHH}

p(A) = 1/8 = 0.125

b.      B = evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón

B = {ningún hijo varón o un hijo varón}= {MMM, HMM, MHM, MMH}

p(B) = 4/8 = 1/2 =0.5

c.       C = evento de que el segundo hijo de la familia sea varón

C = {HHH, HHM, MHH, MHM }

P(C) = 4/8 =1/2 = 0.5

d.      Como en este caso se trata de calcular una probabilidad de tipo condicional, se requiere definir dos eventos, el evento E que es el que condiciona y el evento A;

E = evento de que la familia tenga por lo menos una hija

E = {tenga una o más hijas}

E = {HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}= {7 elementos}

A = evento de que el segundo hijo sea varón

A = { HHH, HHM, MHH, MHM }

AÇE = { HHM, MHH, MHM }= {3 elementos}

Luego;

p(A½E) = ½AÇE½/½E½= 3/7 =  0.42857

e.       E = evento de que la familia tenga como máximo un hijo varón

A = evento de que la familia tenga puras hijas

E = {MMM, MHM, MMH, HMM}= {4 elementos}

A = {MMM}

AÇE = {MMM} = {1 elemento}

P(A½E) = ½AÇE½/½E½= 1/4 = 0.25

20.- Según las estadísticas, la probabilidad de que un auto que llega a cierta gasolinera cargue gasolina es de 0.79, mientras que la probabilidad de que ponga aceite al motor es de 0.11 y la probabilidad de que ponga gasolina y aceite al motor es de 0.06, a. Sí un auto carga gasolina, ¿cuál es la probabilidad de que ponga aceite?, b. Sí un auto pone aceite al motor, ¿cuál es la probabilidad de que ponga gasolina?

Solución:

a.       E = evento de que un auto cargue gasolina

b.       

p(E) = 0.79

A = evento de que un auto ponga aceite al motor

P(A) = 0.11

AÇE = evento de que un auto ponga gasolina y aceite

p(AÇE) = 0.07

p(A½E) = p(AÇE)/p(E) = 0.07/ 0.79 = 0.0881

c.       E = evento de que un auto ponga aceite al motor

P(E) = 0.11

A = evento de que un auto ponga gasolina

P(A) = 0.79

AÇE = evento de que un auto ponga aceite al motor y ponga gasolina

P(AÇE) = 0.07

P(A½E) = p(AÇE)/ p(E) = 0.07/0.11 = 0.63636

21.- La probabilidad de que un auto de carreras cargue gasolina en cierto circuito en la primera media hora de recorrido es de 0.58, la probabilidad de que cambie de neumáticos en esa primera media hora de recorrido es de 0.16, la probabilidad de que cargue gasolina y cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido es de 0.05, a. ¿Cuál es la probabilidad de que cargue gasolina o cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido?, b. ¿cuál es la probabilidad de que no cargue combustible y de neumáticos en la primera media hora de recorrido,  c. Si el auto cambia de neumáticos en la primera media hora de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de que cargue combustible también?, d. Si el auto carga combustible en la primera media hora de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de que cambie de neumáticos también?

Solución:

a.       A = evento de que cargue gasolina en la primera media hora de recorrido

P(A) = 0.58

B = evento de que cambie de neumáticos en la primera hora de recorrido

P(B) = 0.16

AÇB = evento de que cargue combustible y cambie de neumáticos en la primera hora de recorrido

P(AÇB) = 0.05

P(cargue gasolina o cambie de neumáticos) = p(AÈB) = p(A) + p(B) – p(AÇB) = 0.58 + 0.16 – 0.05 = 0.69

b.      p( no cargue combustible y no cambie de neumáticos) = 1 – p(AÈB) = 1 – 0.69 = 0.31

c.       E = evento de que el auto cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido

A = evento de que el auto cargue combustible en la primera media hora de recorrido

p(A½E) = p(AÇE)/ p(E) = 0.05/0.16 = 0.3125

d.      E = evento de que el auto cargue combustible en la primera media hora de recorrido

A = es el evento de que el auto cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido

p(A½E) = p(AÇE)/p(E) = 0.05/0.58 = 0.08621