domingo, 21 de abril de 2013

TÉCNICAS DE CONTEO


Escoger n objetos de los N, significa que cada posible conjunto de n objetos, sin considerar el orden, tienen la misma probabilidad de ser elegido que cualquier otra conjunto de n objetos.

P(A) = n/N número de maneras en que puede ocurrir A
                      número de maneras en que ocurrir el experimento.


Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n maneras diferentes, entonces ambas acciones pueden realizarse secuencial mente de n1
n2 maneras diferentes.

Este principio multiplicativo se generaliza para cualquier número de acciones a realizar, esto es, si una primera acción se puede realizar de n1 maneras diferentes, una segunda acción se puede realizar de n2
 maneras diferentes,..., y una r-ésima acción se puede realizar de nr diferentes, entonces las r 
acciones se pueden realizar de n1
n2...nr maneras diferentes.



Ejemplo 1 

DADOS.

 Considere el experimento consistente en lanzar dos 
dados y observar las caras que quedan hacia arriba. El primer dado puede caer de 6 maneras diferentes (1, 2, 3, 4, 5, 6) y el segundo dado también puede caer de 6 maneras diferentes. Entonces, el número de maneras en que pueden caer ambos dados simultáneamente es: 6*6 = 36.



Ejemplo 2

 POZOS EXPLORATORIOS.
 Considere el experimento consistente en observar el resultado de la perforación de cuatro pozos exploratorios. 

El resultado del primer pozo puede presentarse de 2 maneras (0: seco, 
1: productor), el resultado del segundo, tercero y cuarto pozos también puede 
presentarse de 2 maneras. Entonces, el número de maneras en que puede observarse el conjunto, indicando el resultado de los cuatro pozos simultáneamente es: 2*2*2*2 = 16.



Ejemplo 3. 

PLACAS. 
Las placas para automóvil en el D. F. están formadas por 6 caracteres: los tres primeros son dígitos y los tres últimos son letras 
del alfabeto. ¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer?
Primero vamos a analizar los dígitos: el primero se puede escoger de 10 maneras diferentes, el segundo de 10 maneras y el tercero de 10 maneras; así que, el número de maneras en que se puede formar la primera parte de la placa 
es: 10*10*10 = 1000. Ahora bien, si se considera que el arreglo 000 no es válido, entonces habrá que restarle 1 al valor obtenido, con lo que quedan 999
maneras en que se puede formar la primera parte de la placa.

La segunda parte de la placa se forma con tres letras: la primera se puede escoger de 26 maneras diferentes (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z), la segunda de 26 maneras y la tercera de 26 maneras; así que el número de maneras en que se puede formar la segunda parte 
de la placa es: 26*26*26 = 17,576. Finalmente, el número total de placas diferentes que se pueden formar es: 999*17,576 = 17’558,424.


El principio multiplicativo es aplicable cuando el experimento se puede descomponer en un conjunto de acciones secuenciales o independientes, de modo que cada resultado del experimento se conforma con una posibilidad de cada una de esas acciones.




Diagramas de árbol

Un diagrama de árbol es una herramienta gráfica que permite enumerar todas las posibles maneras de realizar un conjunto de acciones secuenciales o independientes.

El árbol se construye a partir de un nodo, que representa la primera acción a 
efectuar; de éste se desprenden tantas ramas como maneras diferentes se pueda realizar esa acción; en las terminales de cada rama se dibujan otros nodos, que representan la segunda acción a efectuar y de los que se desprenden tantas ramas como maneras lógicas diferentes pueda realizarse esa segunda acción, 
considerando la manera en que se realiza la primera. Y así, sucesivamente.


MONEDAS.

 Considere el experimento consistente en lanzar una moneda tres veces consecutivas y observar, cada vez, la cara que queda hacia arriba.

La primera vez que se lanza la moneda, la cara que queda hacia arriba puede
ser águila o sol; la segunda vez que se lanza, también la cara que queda hacia
arriba puede ser águila o sol, sin importar lo que haya caído la primera vez;

Principio aditivo
Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n2 maneras diferentes, pero no es posible realizar ambas acciones conjuntamente, entonces n1o n2 pueden realizarse alternativamente de n1+ n2 maneras diferentes.

Este principio aditivo se generaliza para cualquier número de acciones alternativas a realizar, esto es, si una primera acción se puede realizar de n1 maneras diferentes, una segunda acción se puede realizar de n2
 maneras diferentes,..., y una r-ésima acción se puede realizar de nr
 maneras diferentes, entonces las r acciones alternativas se pueden realizar de n1+ n2+...+ nr maneras diferentes.

También se puede hacer un esquema representativo del principio aditivo, aunque éste no sea un diagrama de árbol propiamente dicho. Todas las posibles ramas parten de un único nodo; algunas de ellas corresponden al número de maneras en que puede realizarse una primera acción, otras corresponden al número de maneras en que se puede realizar una segunda acción alternativa,… y así sucesivamente. El total de ramas es precisamente el número de maneras en las que se pueden llevar a cabo las distintas acciones alternativas.

Es muy sencillo distinguir cuándo hacer uso del principio multiplicativo y cuándo del aditivo: Si se trata de una secuencia de acciones, deberemos usar el principio multiplicativo. Si se trata de una sola acción que presenta distintas alternativas de realización, deberemos usar el principio aditivo.


Factorial de un número.
El factorial de un número es el producto consecutivo de todos los números enteros, desde el uno hasta el número dado n, inclusive. Notación: n!n!= 1 *2 *3* ...( n -2)*( n -1)* n

Por así convenir, invocando la propiedad conmutativa de la multiplicación,
la fórmula  se escribe más comúnmente como:
n!= n*( n -1)*( n -2)* ... 3* 2* 1
Considerando que: ( n- 1) !=( n -1)*( n -2)*... 3*2* 1,  e invocando
ahora la propiedad asociativa de la multiplicación, la fórmula se puede
escribir:   n! =n( n-1) !
que es la llamada fórmula fundamental del factorial.
Para que la expresión tenga validez para cualquier n€N, se defi -
ne: 0! = 1
Para valores grandes de n (n ≥ 15), se puede utilizar la fórmula de Stirling
para obtener una buena aproximación del factorial de n: n!


PERMUTACIONES


Se llaman permutaciones de n objetos a las diferentes maneras en que se
pueden ordenar esos n objetos; todas las permutaciones constan de los
mismos n elementos, pero se consideran diferentes, por el orden en que se
colocan éstos. Notación: Pn
Para calcular el número de permutaciones que se pueden formar con los n
objetos, se hacen las siguientes consideraciones: la elección del primer objeto
se puede hacer de n maneras diferentes; la elección del segundo objeto se puede hacer de (n - 1) maneras diferentes,..., y la elección del n-ésimo objeto sólo
se puede hacer de una manera. Ahora, invocando el principio fundamental del
conteo se tiene: P n =(n -1)( n -2) ...3* 2* 1
 que nos conduce a la defi nición de factorial: P n =n!


Ejemplo
. LIBROS. Si en el librero de tu casa hay 15 diferentes libros, 6
de los cuales son de matemáticas, 4 son de química y 5 son de física,
a) ¿De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en el librero?
P15=15 ! =1,307,674,368,000 maneras
b) ¿De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en tu librero, si los de
cada materia deben quedar juntos?
El considerar que los libros de cada materia deben quedar juntos implica distinguir las 3 materias como 3 objetos que se pueden permutar: el primer objeto
es el grupo de libros de matemáticas, el segundo objeto es el grupo de libros de
química y el tercer objeto es el grupo de libros de física. El número de maneras
en que se pueden permutar estos 3 objetos es: P3=  3!=6
Los 6 libros de matemáticas se pueden permutar de P6 =6 ! 720 maneras;
los 4 libros de química se pueden permutar de P4=4 ! 24 maneras; y los
5 libros de física se pueden permutar de P5= 5 ! 120 maneras.

Por el principio fundamental del conteo, el número total de maneras en que se
pueden colocar los 15 libros en el librero, haciendo que los de cada materia
queden juntos es:


 P3(P 6P 4P5)= 3 !6 ! 4 !5 != 6x720x24x120 12' 441,600 maneras



Se llaman combinaciones de n objetos de orden r a los distintos grupos que
se pueden formar al escoger secuencialmente r objetos de entre n posibles,
de modo cada una de las combinaciones es distinta de las demás, si difi ere en
uno de sus objetos por lo menos, sin importar el orden. Notación: Cnr
Para calcular el número de combinaciones de r objetos que se pueden formar
con los n objetos disponibles, se considera que, por cada combinación de r
objetos, existen r! ordenaciones equivalentes de r objetos; en efecto, cada combinación de r objetos se puede permutar de r! maneras diferentes, generando
r! ordenaciones. De modo que basta con dividir el número de ordenaciones
de n objetos de orden r, entre las permutaciones de r objetos para obtener las
combinaciones de n objetos de orden r:


Ejemplo 1.39. BARAJA INGLESA. ¿Cuántas manos diferentes le pueden
tocar a un jugador de poker?
Una mano de poker es de 5 cartas y la baraja inglesa consta de 52; por ende,
en cada mano se obtiene, de una en una, la muestra de 5 cartas distintas; para
efectos de conteo, a esta manera de tomar la muestra se le denomina muestreo sin reemplazamiento. La primera carta puede ser cualquiera de la 52, la
segunda puede ser cualquiera de las 51 restantes,..., y la quinta, que puede ser
cualquiera de las 48 que quedan.
El orden en el que salen las carta no importa y evidentemente no se permite
la repetición; por lo tanto, son combinaciones de 52 objetos tomados de 5 en 5.



Ejemplo 1.40. BOLIBOL. Si en el grupo 20 de “Probabilidad” hay 14 estudiantes mujeres, ¿cuántos partidos diferentes de volibol se podrían realizar, si
cada equipo es de 6 jugadoras?
Es necesario considerar la conformación de dos equipos: El primer equipo
se puede formar de 6
C14 maneras, pues se pueden elegir 6 jugadoras diferentes
de entre 14 disponibles; el segundo equipo se puede formar de 6
C8
 maneras,
pues ahora se eligen 6 jugadoras de entre las 8 mujeres que quedan disponibles.
El producto de estas dos combinaciones, invocando el principio fundamental del conteo, proporciona el número de partidos que pueden realizarse, pero
cada uno de ellos está considerado dos veces, pues una misma sexteta puede
pertenecer a ambas combinaciones; el problema se resuelve dividiendo el producto de las dos combinaciones, entre las permutaciones de los 2 equipos:
C


Ejemplo:
1)     Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2   y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12

2)       Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?
Solución:
Considerando que r = 4 pasosN1= maneras de hacer cimientos = 2N2= maneras de construir paredes = 3
N3= maneras de hacer techos = 2
N4= maneras de hacer acabados = 1
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa
El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.

3)      ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y números, b. No es posible repetir letras y números, c. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G.
Solución:
a.      Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas para automóvil que es posible diseñar
b.      26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78,624,000 placas para automóvil
c.      1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvil
d.      1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil

4)      ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis dígitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos, b. El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos, c. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b empiezan por el número siete?, d. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b forman un número impar?.
Solución:
a.      9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 números telefónicos
b.      9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 números telefónicos
c.      1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 números telefónicos
d.      8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 números telefónicos

PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de,

             M + N + .........+ W  maneras o formas

Ejemplos:

1)     Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

      M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

2)      Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia  en las próximas vacaciones de verano, para ir a las Vegas él tiene tres medios detransporte para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para ir del Paso a las Vegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia él tiene cuatro diferentes medios de transporte, a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) ¿Cuántas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?.
Solución:
a) V = maneras de ir a las Vegas
    D = maneras de ir a Disneylandia
V = 3 x 2 = 6 maneras
D = 3 x 4 = 12 maneras
V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia
b) V = maneras de ir y regresar a las Vegas
    D = maneras de ir y regresar a Disneylandia
V = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras
D = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras
V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo